A Resolution of the Diagonal for Toric Deligne-Mumford Stacks

技术摘要：托里型 D-M 叠层的对角线分解

问题陈述
光滑射影簇 $X$ 的相干层导出范畴 $D^b_{Coh}(X)$ 是同调镜像对称性 B 侧的核心。在理解射影空间 $\mathbb{P}^n$ 的该范畴时，一个基础工具是 Beilinson 对对角线的分解，它提供了一个诱导恒等变换的 Fourier-Mukai 核。Bayer、Popescu 和 Sturmfels (BPS) 通过构造与 unimodular 格 $L$ 相关联的 Lawrence 理想 $J_L$ 的细胞分解，将这一方法推广到了 “unimodular” 托里簇。

然而，BPS 框架受限于 unimodular 托里簇，这是光滑射影托里簇的一个真子类（例如，不包括 $\mathbb{P}^2$ 在一点处进行吹胀后再沿例外除子进行吹胀的情况，或非平凡加权射影空间）。此外，托里 Deligne-Mumford (D-M) 叠层理论（通常实现为光滑托里簇 $X_\Sigma$ 对有限阿贝尔群 $\mu$ 的全局商）需要对这些对角线分解进行推广。本文旨在解决为以下对象构造对角线分解的空白：

1. 不一定是 unimodular 的光滑托里簇。
2. 定义为光滑托里簇对有限阿贝尔群 $\mu$ 的全局商的托里 D-M 叠层。

方法论
作者结合组合交换代数、托里几何和 Morita 等价性，扩展了 BPS 的构造。

• 细胞复形的形变： 对于光滑且非 unimodular 的托里簇 $X_\Sigma$，与主除子格 $L$ 相关联的标准超平面排列 $H_L$ 在顶点处无法实现横截相交（即 $H_L \cap \mathbb{R}L$ 包含不在 $L$ 中的点）。为了解决这一问题，作者在 $X_\Sigma$ 的有效锥中引入了一个形变参数 $\epsilon$。该参数将超平面排列形变为 $H^\epsilon_L$，从而确保了横截相截。由此产生的细胞复形 $(F^\bullet_{H^\epsilon_L}, \partial_\epsilon)$ 被证明分解了对角线对象。
• 余核分析与挠性： 一个关键步骤是分析从格模 $M_{\Lambda(L)}$ 到分解映射像的余核。作者证明了对于有效锥中的 $\epsilon$，该余核相对于 $X_\Sigma \times X_\Sigma$ 的无关理想 $I_{irr}$ 是挠性的。根据 Cox 定理（该定理建立了相干层与模量去挠化后的分次模之间的等价关系），这种挠性意味着该复形确实在导出范畴中分解了对角线对象。
• 全局商的 Morita 等价性： 对于托里 D-M 叠层 $X'_{\Sigma} = X_\Sigma / \mu$，作者利用了 Morita 理论。通过将该叠层局部视为仿射商 $\mathbb{A}^n / \mu$，对角线对象是通过一个余有限子格 $\tilde{L} \subset L$（满足 $L/\tilde{L} \cong \mu$）来构造的。对角线对象定义为 $\pi(M_{\Lambda(L)}) = M_{\Lambda(L)} \otimes_{S[\Lambda(\tilde{L})]} S$。随后，通过将 unimodular 情况下的细胞分解提升到商格 $\tilde{L}$ 来构造分解，实际上是张量积作用于 $S[\Lambda(\tilde{L})]$ 而非 $S[\Lambda(L)]$。
• 粘合： 由于光滑托里簇允许由仿射空间 $\mathbb{A}^m$ 构成的开覆盖，局部对商叠层的对角线对象可以粘合形成全局对角线对象。

主要贡献与结果
本文确立了两个主要定理：

1. 定理 (A)： 对于光滑托里簇 $X_\Sigma$（不一定是 unimodular），$S$-自由模复形 $(F^\bullet_{H^\epsilon_L/L}, \partial_\epsilon)$ 提供了对角线对象 $\pi(M_{\Lambda(L)})$ 在 $D^b_{Coh}(X_\Sigma \times X_\Sigma)$ 中的分解。通过利用形变参数 $\epsilon$ 处理非 unimodular 情况，这推广了 BPS 的结果。
2. 定理 (B)： 对于单纯形托里 D-M 叠层 $X'_{\Sigma} = X_\Sigma / \mu$（其中 $X_\Sigma$ 是光滑的且 $\mu$ 是有限阿贝尔群），复形 $(F^\bullet_{H^\epsilon_L/\tilde{L}}, \partial_\epsilon)$ 分解了对角线对象 $\pi(M_{\Lambda(L)}) = M_{\Lambda(L)} \otimes_{S[\Lambda(\tilde{L})]} S$ 在 $D^b_{Coh}(X'_{\Sigma} \times X'_{\Sigma})$ 中的分解。

论文提供了显式示例，包括：

• $\mathbb{P}^2$ 的细胞分解（unimodular 情况）。
• $\mathbb{P}^1 / \mu_6$ 的分解，展示了覆盖映射以及极大环面的细分。
• $\mathbb{P}^2$ 在一点处的吹胀 ($Bl_{[1:0:0]}\mathbb{P}^2$) 的细胞复形形变，演示了参数 $\epsilon$ 如何解决非 unimodular 格中缺乏横截性的问题。
• 对加权射影空间 $\mathbb{P}(1,2)$ 的验证，表明其例外集合生成了导出范畴。

意义
本文声称将 Bayer-Popescu-Sturmfels 的对角线分解推广到了更广泛的几何对象类：光滑托里簇及其全局商叠层。通过使用有效锥中的参数对细胞复形进行形变，作者克服了以往工作中要求的限制性 “unimodularity” 条件。这种扩展使得为更广泛范围的托里 D-M 叠层构造对角线分解（并因此构造诱导恒等变换的 Fourier-Mukai 核）成为可能，这些叠层对于研究这些背景下的同调镜像对称性的 B 侧至关重要。这项工作依赖于 Cox 定理（模去挠性）提供的范畴等价性，来验证所构造的复形确实分解了相干层导出范畴中的对角线对象。