On the singularities of quotients by 1-foliations

技术摘要：关于 1-叶状结构商的奇异性

问题陈述
在正特征 $p > 0$ 的情况下，正则簇 $X$ 上的 1-叶状结构被定义为切丛 $T_X$ 的一个饱和子层，且在李括号和 $p$ 次幂运算下封闭。与此类对象相关的一个基本构造是无穷小商 $X/\mathcal{F}$，它产生了一个纯非分离态射。虽然这些商在构造代数几何中的病态实例（例如 [MR83, Hir99a]）方面发挥了作用，但与其在特征零情况下的表现相比，其奇异性的行为仍不那么明确。本文旨在研究 $X/\mathcal{F}$ 的奇异性定性性质，具体探讨基簇 $X$ 和叶状结构 $\mathcal{F}$ 的奇异性类型如何影响所得的商。

方法论
作者结合了局部代数技术、导数理论以及极小模型纲领（MMP）框架内的双有理几何。

• 导数的局部分析： 本文区分了加法导数（$D^{[p]} = 0$）和乘法导数（$D^{[p]} = uD$，其中 $u$ 为单位）。作者利用乘法导数与群模式 $\mu_p$ 的作用（对于加法情形则为 $\alpha_p$）之间的对应关系，来分析不变子环的结构。
• 分裂论证： 一个核心技术工具是观察到：在适当的 étale 覆盖后，乘法导数的商对应于 $\mu_p$ 作用下的不变子环。这使得作者能够利用“不变子环的包含关系是分裂的”这一事实，从而保持各种上同调性质（如深度和 F-奇异性）。
• 双有理比较： 为了研究双有路径奇异性（终端、典型、klt、对数典型），本文建立了将 $X$、叶状结构 $\mathcal{F}$ 以及商 $X/\mathcal{F}$ 的正则化因子联系起来的拉回公式。这涉及通过商的伴随公式对差异数（discrepancy numbers）进行详细比较。
• 叶状结构族： 本文引入了关于基 $S$ 上的 1-叶状结构的族的正式定义，并研究了取纤维与取商操作的交换性。

主要贡献与结果

1. 乘法导数对 F-奇异性的保持
本文确立了由具有“至多乘法奇异性”（即由交换的乘法导数形式化生成的导数）的 1-叶状结构所构成的商，能够保持广泛的上同调及 F-奇异性。

• 定理 1： 若 $X$ 是完美域上的正则簇，且 $\mathcal{F}$ 是一个至多具有乘法奇异性的 1-叶状结构，则：
  • 若 $X$ 是 Cohen–Macaulay 的，则 $X/\mathcal{F}$ 也是 Cohen–Macaulay 的。
  • 若 $X$ 是 F-纯（F-pure）、F-有理（F-rational）、F-单射（F-injective）或 F-正则（F-regular）的，则 $X/\mathcal{F}$ 保留相同的性质。
• 证明依赖于在 étale 基变换后，包含映射 $A^\mathcal{F} \hookrightarrow A$ 是分裂的，这确保了深度和 F-奇异性性质可以下降到不变子环中。
• 注： 本文澄清了虽然 F-奇异性得以保持，但 Gorenstein 性质通常并不保持，而 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 性质则是保持的。

2. 双有路径奇异性与 MMP
本文研究了商的“MMP 奇异性”如何与基簇和叶状结构的奇异性相关联。

• 定理 2： 若 $\mathcal{F}$ 是正则簇 $X$ 上的典型（canonical，或称正则）或对数典型（log canonical）1-叶状结构，则商 $X/\mathcal{F}$ 会改善或保持 $X$ 的双有路径奇异性。具体而言：
  • 若 $\mathcal{F}$ 是典型的且 $X$ 是终端（terminal）、典型、klt 或对数典型的，则 $X/\mathcal{F}$ 是终端、典型、klt 或对数典型的。
  • 若 $\mathcal{F}$ 是对数典型的且 $X$ 是 klt 或对数典型的，则 $X/\mathcal{F}$ 是 klt 或对数典型的。
• 证明利用了等式 $q^*(K_{X/\mathcal{F}} + \Delta_{X/\mathcal{F}}) = K_X + \Delta + (p-1)K_\mathcal{F}$ 来比较差异数。本文指出，反向蕴含关系通常并不成立。

3. 正则曲面及高维情形的特征化
本文提供了正则曲面上对数典型 1-叶状结构的完整特征化，并给出了高维情形的部分结果。

• 定理 3： 令 $S$ 为正则曲面，$\mathcal{F}$ 为秩为 1 的 1-叶状结构。
  • $\mathcal{F}$ 是典型的，当且仅当它是正则的（这暗示 $S/\mathcal{F}$ 是正则的）。
  • $\mathcal{F}$ 是对数典型的，当且仅当 $S/\mathcal{F}$ 是 F-正则的（等价于 F-纯的）。
• 推论 1： 在正则簇 $X$ 上，非平凡 1-叶状结构不可能具有终端奇异性。如果它是典型的，则必须在余维码 $\ge 3$ 的闭子集外是正则的。如果其秩为 1，则它是典型的当且仅当它是正则的，是对数典型的当且仅当它至多具有乘法奇异性。
• 这些结果强调了对数典型条件在二维情形下是非常苛刻的。

4. 叶状结构族与纤维交换性
本文定义了 1-叶状结构的族，并研究了取商的操作是否与取纤维的操作相交换。

• 定理 4： 令 $(X \to S, \mathcal{F})$ 为一族 1-叶状结构，其中 $X \to S$ 是光滑的且 $S$ 是正则的。令 $Q = T_{X/S}/\mathcal{F}$。若对于某个 $s \in S$，纤维 $Q_s$ 是局部自由的，则商的纤维与纤维的商是同构的：$X_s/\mathcal{F}_s \cong (X/\mathcal{F})_s$。
• 本文通过示例（示例 5.2.10 和 5.2.11）展示了如果 $Q_s$ 不足够正则（例如不是 Cohen–Macaulay 的），交换性可能会失效。然而，自然态射 $X_s/\mathcal{F}_s \to (X/\mathcal{F})_s$ 在余维码为 1 的意义下始终是同构的。

意义与范围
本文声称对无穷小商的奇异性进行了系统性研究，填补了文献中的空白——此前此类构造常被用于产生反例，而缺乏对其奇异性类型的详细分析。

• 它将已知关于乘法导数商（此前已知于正则簇）的结果推广到了底层簇可能具有奇异性的情况。
• 它建立了叶状结构的对数典型性与所得商的 F-奇异性类型之间的直接联系，特别是在曲面情形下。
• 本文的研究范围较为适度，排除了非 $p$-封闭向量场（见备注 1.0.1）。
• 这些结果被定位为理解正特征下纯非分离态射几何的基础，并对归一化的 $p$-循环覆盖（推论 4.2.10）以及稳定曲面族的构造（示例 5.2.8–5.2.9）具有特定的应用价值。

本文并未提出超出当前 MMP 和正特征下叶状结构理论之外的新实验应用或未来研究方向。它旨在将现有的零散结果（引用 [MP97], [PW22], [Lie08] 等）整合为一个用于分析奇异性的连贯框架。