Dimension reduction and homogenization of composite plate with matrix pre-strain

技术摘要：具有基体预应变的复合板的降维与均质化

问题陈述
本文在非线性弹性力学框架下，研究了周期性复合板的同时均质化与降维问题。该结构由一个由刚性材料（结构框架）制成的周期性穿孔板组成，孔洞内填充了较软的基体材料。该板被夹持在一个圆柱体部件上。本研究针对两种特定的渐近状态，其总弹性能标度为 $O(\varepsilon^5)$，对应于 von-Kármán (vK) 板理论：

1. 情况 1： 无预应变的复合板。
2. 情况 2： 软基体部分具有预应变的复合板。

这项研究的动机源于制造工艺，例如 3D 打印，其中预拉伸的薄膜被折叠成所需的形状。研究中确定了一个关键挑战：如何将应力从软薄膜传递到刚性结构框架。作者认为，如果没有预应变，软基体可能无法传递足够的应力来影响均质化壳体的行为，特别是当刚性部分由厚梁组成时。

方法论
分析采用了结合 $\Gamma$-收敛和重缩放展开算子 (re-scaling unfolding operator) 的严谨数学方法。关键方法步骤包括：

• 几何与标度： 板的厚度 $r$ 与周期性 $\varepsilon$ 通过 $r = \kappa\varepsilon$ 相关联（其中 $\kappa$ 是一个严格的正常数）。假设基体材料比结构框架软一个 $\varepsilon^2$ 数量级。
• 位移分解： 引入了一种新的位移分解方式。总位移被分解为一个 Kirchhoff-Love (KL) 板位移和一个残余部分。这种分解对于分析渐近行为以及推导刚性和软性区域的 Korn 型不等式至关重要。
• 展开算子： 利用重缩向展开算子来处理依赖于 $\varepsilon$ 的周期性定义域。这使得能够根据位移推导 Green-Saint Venant 应变张量的渐近行为。
• 渐近分析： 作者分析了变形的极小序列。对于情况 2，通过变形梯度 $\nabla v A_\varepsilon^{-1}$ 的乘性分解来模拟预应变，其中 $A_\varepsilon = I_3 - \varepsilon B_\varepsilon$ 在基体中，而在刚性部分中为 $I_3$。关于预应变提出了一个新颖的假设：$B_\varepsilon$ 被假设通过展开算子进行弱收敛，这比文献中通常假设的强双尺度收敛是一个更弱的条件。
• 极限能量推导： 极限均质化能量被推导为重缩放总能量的 $\Gamma$-极限。证明了极限问题极小值点的存在性。

主要贡献与结果

1. 极限均质化模型： 在两种情况下，极限行为均由 von-Kármán 板模型描述。

   • 情况 1（无预应变）： 极限能量仅由刚性材料部分导出。由于与软相相关的线性弹性胞元问题，基体对极限能量的贡献在极限过程中消失。所得的均质化能量与不含软基体的周期性穿孔板的能量一致。
   • 情况 2（有预应变）： 软基体中预应变的存在在均质化能量中引入了一个附加项。该项由预应变张量 $B$ 产生，使得软基体能够影响板的宏观行为。

2. 胞元问题的线性： 尽管初始问题和均质化问题具有非线性，但相关的胞元问题（在参考胞元上定义的微观问题）是线性弹性的。

   • 对于刚性部分，胞元问题决定了与膜应力和弯曲刚度相关的修正项。
   • 对于情况 2 中的软性部分，通过求解一个线性弹性胞元问题来确定预应变的影响。

3. 均质化板的正交各向异性： 本文证明了对于各向同性的均匀材料，所得的极限均质化 vK 板是正交各向异性的。这一发现与此类周期性结构的 vK 能量和线性弹性公式是一致的。

4. 弱收敛假设： 本文展示了一个结果，其中预应变场 $B_\varepsilon$ 被假设通过展开算子进行弱收敛。作者声称，这是在本文语境下考虑预应变如此弱收敛假设的首个结果。

5. 推广： 在第 9 节中，将结果扩展到一类更通用的周期性复合板，其中孔洞由软基体填充，前提是这些定义域满足特定的连通性和 Lipschitz 边界条件。

意义与主张
本文声称，其研究结果为理解预应变如何在复合壳体中有效地将应力传递到刚性结构框架提供了理论基础。

• 实际应用： 研究结果被指出在设计和分析复合结构方面具有实际应用价值，特别是在 3D 打印、纺织品和航空航天工业等通过预应变控制均质化壳体形状的领域。
• 理论进展： 该工作将同时进行均质化与降维的理论扩展到了带有预应变的非线性弹性力学，并利用了预应变场更弱的收敛假设。它阐明了在这一特定的标度状态下，如果没有预应变，软基体在机械上对于均质化 vK 板行为是“不可见”的，而预应变是激活基体贡献的必要条件。

作者强调，极限模型是一个具有线性弹性胞元问题的 vK 板，这为分析基体预应变下的机械行为提供了简化方案。利用 $\Gamma$-收敛技术，严格证明了极限能量极小值的存在性。