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On the Stability of Undesirable Equilibria in the Quadratic Program Framework for Safety-Critical Control

本文深入研究了多控制障碍函数（CBF）框架下 CLF-CBF 二次规划控制器中非期望平衡点的形成与稳定性，提出了 CLF-CBF 兼容性概念，并推导了充分条件及一种通过动态调整 CLF 几何特性来消除稳定非期望平衡点、实现多目标安全与准全局收敛的新控制策略。

原作者： Matheus F. Reis, A. Pedro Aguiar

发布于 2026-03-17

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CC BY 4.0

原作者： Matheus F. Reis, A. Pedro Aguiar

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文探讨了一个在自动驾驶、机器人和工业控制领域非常关键的问题：如何确保机器既安全又能顺利到达目的地，而不会“死机”在错误的地方。

为了让你更容易理解，我们可以把这篇论文的核心内容想象成**“在一个充满隐形墙（障碍物）的迷宫里开车”**的故事。

1. 背景：聪明的司机与死胡同

想象你是一名自动驾驶汽车（机器人），你的任务有两个：

安全（Safety）： 绝对不能撞到墙（障碍物）。
稳定（Stability）： 必须最终到达目的地（比如停车场）。

现在的技术（称为 CLF-CBF 框架）就像是一个超级聪明的导航系统。它通过一个数学公式（二次规划 QP）来实时计算方向盘怎么打。

CLF（控制李雅普诺夫函数）： 就像是一个“目标引力”，一直把车往目的地拉。
CBF（控制障碍函数）： 就像是一个“安全力场”，一旦靠近墙壁，就会把车推开。

问题出在哪里？
虽然这个系统很聪明，但它偶尔会犯一个致命的错误：它可能会把车停在**“死胡同”**里。

车子既没有撞墙（安全），但也到不了目的地（没稳定）。
更糟糕的是，这个“死胡同”可能就在目的地旁边，或者离墙非常近。车子会在那里死机（Deadlock），无论你怎么踩油门，它都动不了，因为它觉得“再动一点就会撞墙，再退一点就离目标太远了”。

这篇论文就是要解决这个“死机”问题。

2. 核心发现：为什么车会停在死胡同？

作者发现，车子停在死胡同（称为“非期望平衡点”）的原因，是因为**“目标引力”的形状（几何形状）和“安全力场”的形状不匹配。**

比喻： 想象你的目的地是一个碗底（引力），而障碍物是一个凸起的山包（安全场）。如果碗的形状太奇怪，或者山包的位置太刁钻，车子可能会卡在碗底和山包之间的一个“小坑”里。在这个小坑里，往哪边推都会撞墙，往哪边拉都会撞墙，于是车子就停住了。

作者通过复杂的数学证明，找到了判断车子会不会卡在这个“小坑”里的条件。他们发现，这取决于目标形状的曲率和障碍物形状的曲率之间的“几何关系”。

3. 解决方案：给导航系统装上“变形金刚”能力

既然知道了原因，作者提出了一种新的策略，叫做**"CLF 兼容性”（CLF Compatibility）**。

以前的做法：
导航系统里的“目标引力”形状是固定的（比如永远是个正圆形的碗）。如果这个形状导致车子卡住，那就没办法了，只能让设计师把安全距离设得特别大（比如离墙 10 米才刹车），但这会让车子行动非常笨拙。

这篇论文的新做法：
让“目标引力”的形状动态变化！

比喻： 想象你的导航系统是一个**“液态金属”**。
- 当车子在空旷地带时，它保持标准的圆形，高效地把你拉向目的地。
- 当车子快要进入那个危险的“死胡同”区域时，导航系统会瞬间改变形状。它会把“碗”的形状扭曲一下，把那个“小坑”填平，或者把“碗”的坡度变陡，强行把车子从死胡同里“挤”出来，让它继续滑向真正的目的地。

4. 具体是怎么做的？（三步走）

诊断（算一算）： 系统会先计算当前的“目标形状”和“障碍物形状”会不会导致死机。如果会，它就标记出这个形状是“不兼容”的。
重塑（改一改）： 系统会自动计算一个新的、稍微有点不同的“目标形状”（比如把圆碗变成椭圆，或者稍微歪一点），这个新形状能保证车子绝对不会卡在死胡同里。作者把这个新形状称为“兼容形状”。
执行（变一变）： 在车子行驶过程中，如果它发现前方有死机风险，它就会平滑地把自己的“引力形状”从“标准版”切换到“兼容版”。一旦过了危险区，它又变回“标准版”。

5. 实验结果：真的有用吗？

作者做了两个模拟实验（就像在电脑里玩赛车游戏）：

实验一： 一辆车在两个障碍物中间。用旧方法，车停在了两个障碍物中间的死胡同里，动不了了。用新方法，车子在快停住时，自动调整了“引力形状”，成功绕过了死胡同，开到了终点。
实验二： 一辆动力不足的车（欠驱动系统）。旧方法下，车停在障碍物边缘。新方法下，车子通过动态调整形状，成功绕过了障碍物并到达终点。

总结

这篇论文的核心思想就是：不要死板地坚持一种“目标形状”。

在安全控制中，为了不让机器卡在“既安全又去不了目的地”的尴尬境地，我们需要让控制策略灵活变通。通过实时微调“目标”的几何形状，我们可以消除那些让人头疼的“死机”点，让机器在确保安全的前提下，更聪明、更流畅地到达目的地。

这就好比一个经验丰富的老司机，在遇到死胡同时，不会硬着头皮往前冲，而是会灵活地调整车身角度，甚至倒车一点点，找到一条既能避开墙壁又能继续前进的路。这篇论文就是教机器如何拥有这种“老司机”的直觉。

这是一份关于论文《On the Stability of Undesirable Equilibria in the Quadratic Program Framework for Safety-Critical Control》（安全关键控制中二次规划框架下不良平衡点的稳定性）的详细技术总结。

1. 研究背景与问题 (Problem)

背景：
在安全关键系统（如自动驾驶、机器人协作）中，控制李雅普诺夫函数 (CLF) 和 控制障碍函数 (CBF) 结合 二次规划 (QP) 的框架被广泛用于设计既能保证系统稳定性又能满足安全约束（轨迹不变性）的控制器。

核心问题：
尽管该框架能保证安全性（即系统轨迹不会进入不安全区域），但它可能会在闭环系统中引入不良的平衡点 (Undesirable Equilibrium Points)。

这些平衡点可能位于安全集的边界上。
更严重的是，其中一些不良平衡点可能是渐近稳定的。
后果： 如果系统轨迹收敛到这些非目标（非 CLF 全局最小值）的稳定平衡点，会导致系统死锁 (Deadlock)，使系统无法完成目标任务，甚至迫使设计者采用过于保守的安全裕度，降低系统性能。

现有局限：
现有的解决方法（如引入扰动或修改约束）往往存在局限性，例如可能破坏安全集不变性，或者计算复杂且难以推广到多 CBF 场景。

2. 方法论 (Methodology)

本文针对非线性、控制仿射系统（Control-Affine Systems），在具有多个 CBF 约束的 CLF-CBF-QP 框架下，深入研究了平衡点的形成机制和稳定性条件。

2.1 平衡点的存在性与分类

利用 KKT 条件分析了闭环系统的平衡点集合 $E$ 。
将平衡点分为两类：
1. 内部平衡点 (Interior Equilibria)： 位于安全集内部。
2. 边界平衡点 (Boundary Equilibria)： 位于安全集边界 $\partial C_i$ 上。
证明了在特定假设下（如漂移项为零或单 CBF），QP 总是可行的，但平衡点的存在性取决于 CLF 和 CBF 的几何特性。

2.2 稳定性分析 (Stability Analysis)

推导了边界平衡点处的闭环雅可比矩阵 $J_{cl}$ 的显式表达式。
利用 Chetaev 不稳定性定理，提出了判断边界平衡点稳定性的充要条件。
关键发现： 平衡点的稳定性取决于 CBF 梯度正交子空间上的投影，以及由系统动力学、CLF 和 CBF 几何形状决定的向量场 $f_i$ 的雅可比矩阵 $J_{fi}$ 的性质。

2.3 CLF 兼容性 (CLF Compatibility)

定义： 引入“兼容性”概念。如果一个 CLF 与给定的 CBF 对是“兼容”的，意味着除了 CLF 的全局最小值外，闭环系统中不存在其他稳定的平衡点。
二次型系统分析： 针对线性时不变 (LTI) 系统和无漂移满秩系统，假设 CLF 和 CBF 均为二次型。
Q-函数 (Q-Function) 方法：
- 定义了一个标量函数 $q(\lambda)$ ，用于描述平衡点在 CBF 边界上的分布。
- 定义了稳定性多项式矩阵 $S(\lambda)$ 。
- 定理： 边界平衡点稳定的充要条件是 $S(\lambda)$ 在对应的特征值 $\lambda$ 处为负半定。
- 通过分析 $S(\lambda)$ 的负半定区间，可以判断是否存在稳定平衡点。

2.4 自适应控制策略 (Adaptive Control Strategy)

兼容化算法 (Compatibilization Algorithm)： 提出一个优化问题，寻找一个最接近参考 CLF 的“兼容”CLF（即修改 CLF 的 Hessian 矩阵），使得 $S(\lambda)$ 在相关区间不再负半定，从而消除稳定平衡点。
动态几何变换： 设计了一个分层控制策略：
- 当系统状态处于可能导致死锁的区域（即存在稳定边界平衡点的吸引域）时，控制器动态调整 CLF 的几何形状（Hessian 矩阵），使其向“兼容”CLF 过渡。
- 当系统处于安全区域时，CLF 恢复为原始参考形状。
- 这种平滑的几何变换旨在诱导分岔，将稳定的不良平衡点转化为不稳定点，从而引导轨迹避开死锁并收敛至目标点。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

理论分析： 首次详细分析了多 CBF 约束下 CLF-CBF-QP 框架中平衡点的存在性和稳定性条件，揭示了稳定性与 CLF/CBF 几何特性的依赖关系。
兼容性概念： 提出了"CLF 兼容性”的新概念，并针对二次型 CLF/CBF 和 LTI/无漂移系统，推导了兼容性的充要条件（基于 $S(\lambda)$ 矩阵的性质）。
Q-函数理论： 引入了 Q-函数和稳定性多项式矩阵，为分析平衡点提供了基于矩阵多项式理论的解析工具。
解决方案： 提出了一种新颖的控制策略，通过在线自适应调整 CLF 的几何形状（Hessian 矩阵），在不牺牲安全性的前提下，消除导致死锁的稳定平衡点。
数值验证： 通过 LTI 系统和欠驱动系统的数值仿真，验证了该方法能有效避免轨迹收敛到不良平衡点，并成功引导系统到达目标。

4. 结果 (Results)

理论结果： 证明了对于一般系统，无法完全消除所有边界平衡点，但可以通过选择兼容的 CLF 来消除所有稳定的边界平衡点。
仿真结果：
- 案例 1 (LTI 系统)： 使用固定 CLF 时，轨迹收敛到障碍物边界的稳定平衡点（死锁）。使用提出的自适应策略后，CLF 形状在接近障碍物时发生形变，消除了该稳定点，轨迹成功绕过障碍物并收敛至原点。
- 案例 2 (欠驱动系统)： 同样展示了固定 CLF 导致的死锁问题，以及自适应策略如何通过改变 CLF 等值线形状来诱导分岔，使系统摆脱死锁。
- 仿真表明，该方法能在保证安全（轨迹不进入不安全区域）的同时，恢复系统的任务完成能力。

5. 意义与影响 (Significance)

解决死锁难题： 为安全关键控制中普遍存在的“死锁”问题提供了理论解释和有效的工程解决方案。
提升系统性能： 允许设计者使用更宽松的安全约束（无需过度保守），因为系统不再容易陷入局部稳定平衡点。
通用性潜力： 虽然目前的理论主要针对二次型和特定系统类，但提出的“兼容性”概念和几何调整思路为未来扩展到更一般的非线性系统和非二次型函数奠定了基础。
设计指导： 为控制工程师在设计 CLF-CBF 控制器时提供了具体的几何设计准则，即如何构造 CLF 以避免与 CBF 产生冲突的稳定平衡点。

总结： 该论文通过深入的理论分析和创新的自适应控制策略，解决了 CLF-CBF-QP 框架中因不良平衡点导致的死锁问题，显著提升了安全关键控制系统的可靠性和任务完成能力。