Classical exponential bounds for p-generalized circular and hyperbolic functions

技术摘要：$p$-广义圆函数与双曲函数的经典指数界限

问题陈述
本文研究了建立依赖于参数 $p$（其中 $1 < p < \infty$）的广义圆函数与双曲函数的尖锐指数界限的问题。虽然现有文献中已有关于标准三角函数和双曲函数（即 $p=2$ 时）的指数界限的经典不等式记载，但仍需将这些结果扩展到 $p$-广义语境下。作者旨在为 $\sin_p x$、$\cos_p x$、$\tan_p x$ 及其双曲对应函数导出形式为 $e^{\alpha x^p} < f_p(x) < e^{\beta x^p}$ 的不等式，并确定最佳常数 $\alpha$ 和 $\beta$。

方法论
作者采用了一种以特定商函数的单调性为核心的严谨解析方法。主要工具是利用L'Hôpital 单调法则（引理 2.1），该法则将函数比值的单调性与其导数之比的单调性联系起来。

其方法论流程如下：

1. 函数定义： 本文基于积分 $\int_0^x (1 \mp t^p)^{-1/p} dt$ 的反函数定义了 $p$-广义函数（$\sin_p, \cos_p, \tan_p, \sec_p$ 及其双曲类似物）。
2. 辅助引理： 建立了两个关键引理以支持主要证明：
   • 引理 2.2： 证明了对于 $p > 1$，$\xi(x) = x / \tan_p x$ 在 $(0, \pi_p/2)$ 上严格递减。
   • 引理 2.3： 证明了对于 $p > 1$ 且 $x \ge 0$，$\varsigma(x) = x / \tanh_p x$ 是严格递增的。
3. 构造比值函数： 对于每个目标不等式，作者构造了一个函数 $F(x) = \ln(f_p(x)/g_p(x)) / x^p$。
4. 微分与单调性分析： 通过重复应用微分并利用上述辅助引理，作者证明了分子与分母导数的比值是单调的（严格递增或严格递减）。
5. 应用引理 2.1： 这种单调性意味着原函数 $F(x)$ 是严格单调的。随后通过计算 $F(x)$ 在 $x \to 0^+$ 时的极限以及在区间上界的极限来导出界限。

主要贡献与结果
本文建立了六个主要定理，为各种 $p$-广义函数提供指数界限。结果以带有最佳常数的双重不等式形式呈现。

• 广义正弦函数（定理 3.1）： 对于 $p \ge 2$ 且 $x \in (0, \pi_p/2)$，本文证明了：
  $$e^{\alpha x^p} < \frac{\sin_p x}{x} < e^{\beta x^p}$$
  其中 $\alpha = \frac{2^p \ln(2/\pi_p)}{\pi_p^p}$ 且 $\beta = -\frac{1}{p(p+1)}$。

• 广义余弦函数（定理 3.2）： 对于 $p \ge 1$ 且 $x \in (0, a)$（其中 $a < \pi_p/2$）：
  $$e^{\alpha_1 x^p} < \cos_p x < e^{\beta_1 x^p}$$
  其中 $\alpha_1 = \frac{\ln(\cos_p a)}{a^p}$ 且 $\beta_1 = -\frac{1}{p}$。

• 广义正切函数（定理 3.3）： 对于 $p \ge 2$ 且 $x \in (0, b)$（其中 $b < \pi_p/2$）：
  $$e^{\alpha_2 x^p} < \frac{x}{\tan_p x} < e^{\beta_2 x^p}$$
  其中 $\alpha_2 = \frac{\ln(b/\tan_p b)}{b^p}$ 且 $\beta_2 = -\frac{1}{p+1}$。

• 广义双曲正弦函数（定理 3.4）： 对于 $p \ge 2$ 且 $x \in (0, c)$：
  $$e^{\lambda x^p} < \frac{x}{\sinh_p x} < e^{\eta x^p}$$
  其中 $\lambda = -\frac{1}{p(p+1)}$ 且 $\eta = \frac{\ln(c/\sinh_p c)}{c^p}$。

• 广义双曲余弦函数（定理 3.5）： 对于 $p \ge 1$ 且 $x \in (0, d)$：
  $$e^{\lambda_1 x^p} < \cosh_p x < e^{\eta_1 x^p}$$
  其中 $\lambda_1 = \frac{\ln(\cosh_p d)}{d^p}$ 且 $\eta_1 = \frac{1}{p}$。

• 广义双曲正切函数（定理 3.6）： 对于 $p \ge 2$ 且 $x \in (0, m)$：
  $$e^{\lambda_2 x^p} < \frac{\tanh_p x}{x} < e^{\eta_2 x^p}$$
  其中 $\lambda_2 = -\frac{1}{p+1}$ 且 $\eta_2 = \frac{\ln((\tanh_p m)/m)}{m^p}$。

此外，推论 3.7 确立了不等式 $\frac{x}{\tan_p x} < \frac{\tanh_p x}{x}$ 对于 $x \in (0, \pi_p/2)$ 且 $p \ge 2$ 成立。

意义与主张
作者声称其结果是现有经典圆函数与双曲函数不等式的自然推广。通过令 $p=2$，所得不等式精确地还原为参考文献 [2, 3, 4, 5, 10] 中已知的经典结果。本文并未提出新的应用或实验性方案；其意义在于将指数界限在更广泛的 $p$-广义函数类中进行了理论扩展，并为这些广义不等式提供了“最佳”常数。这项工作为涉及广义函数（这些函数在 $p$-拉普拉斯算子的特征函数背景下已被广泛研究）的不等式文献做出了贡献。