Local square mean in the hyperbolic circle problem

技术摘要：双曲圆问题中的局部平方均值

1. 问题陈述
本文研究了有限体积富克斯群 $\Gamma \subseteq \text{PSL}_2(\mathbb{R})$ 的双曲圆问题。具体而言，它侧重于估计点 $z$ 的 $\Gamma$-轨道中位于以 $w$ 为中心、半径为 $R$ 的双曲圆内的元素个数。对于 $\Gamma = \text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 且 $z=w$ 的特定情况，计数函数定义为：
$$N(z, X) := |\{ \gamma \in \Gamma : 4u(\gamma z, z) + 2 \le X \}|$$
其中 $u(z, w) = \frac{|z-w|^2}{4 \text{Im}z \text{Im}w}$ 与双曲距离 $\rho$ 的关系为 $1+2u = \cosh \rho$。

误差项 $E(z, X) = N(z, X) - 3X$ 的经典逐点界已知为 $O_z(X^{2/3})$，这一结果归功于塞尔伯格（Selberg）。虽然佩特里迪斯和里萨格（Petridis and Risager）[P-R] 通过对 $z$ 取平均，将该误差项的局部平均改进为 $O(X^{7/12+\epsilon})$，但针对任何群，逐点界此前均未得到改进。本文旨在改进误差项的局部 $L^2$-范数（即平方均值）的估计。

2. 主要结果
主定理建立了标准基本域 $F$ 内紧集 $\Omega$ 上误差项局部 $L^2$-范数的改进界。

定理 1.1： 设 $\Gamma = \text{PSL}_2(\mathbb{Z})$，设 $F$ 为标准基本域，设 $\Omega \subseteq F$ 为紧集。则对于任意 $\epsilon > 0$：
$$\left( \int_{\Omega} (N(z, X) - 3X)^2 d\mu_z \right)^{1/2} = O_{\Omega, \epsilon} \left( X^{9/14 + \epsilon} \right)$$
指数 $9/14 \approx 0.642$ 严格优于逐点界指数 $2/3 \approx 0.666$，尽管它仍弱于佩特里迪斯和里萨格在线性平均方面达到的 $7/12 \approx 0.583$ 指数。

3. 方法论
证明采用了谱理论、算术几何和分析估计相结合的方法。

• 平滑与谱分解： 作者利用二项式系数对 $N(z, X-jd\tau)$ 进行线性组合，引入了平滑计数函数 $N_{d,J}(z, X)$。这种平滑使得谱方法得以应用。误差项被分解为 $\Gamma$ 中双曲元素和非双曲元素的贡献。非双曲贡献被证明是可忽略的（$O(X^{1/2+\epsilon})$）。
• 归约为自守内积： 问题的核心归结为估计双曲贡献的平方积分。利用自守函数的谱展开，该积分被表示为形如 $M_{t,m}(z) = \sum_{\gamma \in \Gamma_t} m(u(z, \gamma z))$ 的和的内积，其中 $\Gamma_t$ 是迹为 $t$ 的元素集合。
• 与二次型的联系： 一项关键的技术创新（引理 2.2）将这些自守函数的内积与算术量联系起来。具体而言，该积分被表示为涉及以下内容的和：
  1. $E_{t_1, t_2}$：与具有相同固定点的双曲元素对的中心化子生成元的范数对数相关的和。
  2. $h(d_1, d_2, t)$：判别式为 $d_1, d_2$ 且具有特定“余判别式” $t$ 的二次型对 $(Q_1, Q_2)$ 的 $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$-等价类个数。
• 算术界： 由于 $h(d_1, d_2, t)$ 的显式公式仅在限制性条件下已知，作者证明了 $h(d_1, d_2, t)$ 的一个一般上界（引理 3.1），该界涉及参数的除数个数和无平方因子部分。
• 分析估计： 证明涉及对源自内积公式的特殊函数（$I$ 和 $J$ 函数）的详细分析。这些函数依赖于与迹和平滑尺度相关的参数。作者利用泰勒展开、高阶导数的法亚·迪·布鲁诺公式（Faà di Bruno's formula）以及基于参数相对大小的仔细情形分析来界定这些和。
• 优化： 通过平衡谱近似产生的误差项（$O(X/\sqrt{d})$）与算术和导出的界（$O(d^{5/2} X^{-1/2})$），参数 $d$ 被选为 $X^{5/7}$，从而得出最终指数 $9/14$。

4. 主要贡献

• 改进的 $L^2$ 界： 本文在局部 $L^2$-范数的背景下，首次改进了双曲圆问题中 $X^{2/3}$ 逐点界，达到了 $X^{9/14+\epsilon}$。
• 算术工具： 推导了二次型对类数 $h(d_1, d_2, t)$ 的一般上界（引理 3.1），无需对参数施加限制性条件。
• 谱 - 算术桥梁： 建立了连接与迹集相关的自守函数内积与二次型对算术类数的显式公式（引理 2.2）。

5. 意义与局限性
该结果的意义在于证明了在 $L^2$ 意义下对误差项进行局部平均能产生优于最坏情况逐点界的指数，从而在逐点界 $X^{2/3}$ 与线性平均 $X^{7/12}$ 之间架起了桥梁。

作者指出了若干局限性和未来工作方向：

• 群的限制： 当前的证明严重依赖于 $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 特有的算术工具。将该结果推广到具有优于 $2/3$ 指数的任意有限体积富克斯群仍然是一个未解决的问题，尽管线性平均结果此前已由 [B1] 推广。
• 显式公式： 作者指出，如果能够获得 $h(d_1, d_2, t)$ 的显式公式，而不是依赖本文推导的一般上界，该界可能会得到进一步改进。
• 比较： 结果明确表述为弱于佩特里迪斯和里萨格针对线性平均的 $X^{7/12}$ 界，但强于逐点界。