Finite element analysis of a nematic liquid crystal Landau-de Gennes model with quartic elastic terms

技术摘要：包含四次弹性项的向列型液晶 Landau-de Gennes 模型的有限元分析

问题陈述
本文研究了一种针对包含四次弹性项的广义向列型液晶 Landau-de Gennes 模型的数值分析。标准的 Landau-de Gennes 模型使用二次弹性能量密度，而 Golovaty 等人 [15] 最近的工作提出了一种更高阶的推广，旨在更好地捕捉相变，并与 Oseen-Frank 指向矢模型建立严谨的联系，特别是在弹性常数（$K_1, K_2, K_3$）差异极大的情形下。作者研究了一个特定的能量泛函 $F(Q)$，该泛函包含了这些四次项，具体而言，在 Golovaty 等人提出的模型基础上，增加了一个与 $|Q|^2|\nabla Q|^2$ 成正比的项（记为系数 $L_5$）。主要解决的挑战在于，此类模型目前缺乏现有的具有可证明稳定性的数值方案，并且需要证明离散极小值随网格尺寸趋于零时的收敛性。

方法论
作者为能量泛函 $F(Q)$ 的梯度流开发了一种全离散有限元方案。

• 模型构建： 能量 $F(Q)$ 由五个涉及 $\text{div } Q$ 和 $\text{curl } Q$ 的弹性项组成，并耦合了张量系数 $S_1 = \frac{s_0}{3}I + Q$ 和 $S_2 = \frac{2s_0}{3}I - Q$，以及额外的四次项 $L_5|Q|^2|\nabla Q|^2$。
• 数值方案： 构建了一个使用半隐式时间步进法的非线性隐式有限元方案（方案 3.1）。该方案旨在满足离散能量耗散律，从而确保与网格尺寸 $h$ 和时间步长 $\Delta t$ 无关的无条件稳定性。
• 存在性与唯一性： 利用 Leray-Schauder 不动点定理建立了每一步时间内的非线性系统的可解性。通过对时间步长的约束（$\Delta t \leq Ch^{d+2}$）证明了唯一性。
• 收敛性分析： 作者严格证明了当 $h \to 0$ 时，离散能量 $F_h$ 对连续能量 $F$ 的 $\Gamma$-收敛性。证明的一个关键组成部分是构造恢复序列，这依赖于由 $L_5 > 0$ 项提供的能量强制性。作者利用截断算子和光滑化处理来应对 $Q$-张量场可能存在的无界性和缺乏光滑性的问题。

核心贡献

1. 能量稳定方案： 本文提出了首个对于带有四次弹性项的 Landau-de Gennes 模型梯度流具有可证明能量稳定性和收敛性的数值方案。
2. $\Gamma$-收敛性证明： 作者提供了严谨的证明，表明全局离散极小值收敛于连续能量的全局极小值。他们证明了包含 $L_5$ 项对于构造用于此证明的恢复序列在数学上是必要的，尽管数值实验表明，当 $L_5$ 很小或为零时，动力学过程保持相似。
3. 理论扩展： 该工作扩展了 Golovaty 等人 [15] 建立的理论框架，表明通过简单的适配，其关于与 Oseen-Frank 模型联系以及在相关长度消失极限下恢复单轴态的结果，对于这个修改后的模型同样成立。

数值结果
作者在二维空间进行数值实验，以验证该方案并探索四次模型的物理意义：

• 收敛性测试： 该方案在空间单元宽度和时间步长方面均表现出二阶收敛性。
• 相变： 各向同性到向列性的相变模拟成功重现了缺陷和触角状结构（tactoids，即向列性液滴）的形成，且这些结构具有非球对称边界，这与物理观察一致 [14]。
• 弹性常数差异： 通过改变弹性常数（特别是 $L_1$），模拟捕捉到了不同的缺陷动力学。例如，在 1 阶和 -1 阶触角状结构模拟中，四次模型产生了与标准二次 Landau-de Gennes 模型显著不同的缺陷结构（如 V 型尾部或特定的涡旋星座）。
• 与二次模型的比较： 研究表明，四次模型能捕捉到比标准二次单常数近似更丰富的动力学特性。具体而言，四次模型允许形成具有扭折边界的触角状结构，这是物理实验中观察到的特征，而标准二次模型无法捕捉到这一特征。

意义与主张
本文声称，所提出的数值方法是鲁棒的，能够模拟标准二次模型无法实现的复杂液晶行为。作者强调，虽然 $L_5$ 项对于 $\Gamma$-收敛性的数学证明至关重要，但数值结果表明，对于较小的或零 $L_5$，模型的行为保持相似，这暗示了源自 Oseen-Frank 能量的四次项的物理相关性。该工作为高阶 Landau-de Gennes 模型的严谨数值分析提供了基础，为研究具有高度差异化弹性常数和复杂缺陷动力学的材料提供了工具。作者指出，用于 $\Gamma$-收敛性的技术可能适用于其他相关的具有四次能量项的模型。