A strong-form stability for a class of $L^p$ Caffarelli-Kohn-Nirenberg interpolation inequality

技术摘要：一类 $L^p$ Caffarelli-Kohn-Nirenberg 插值不等式的强形式稳定性

问题陈述
本文研究了 Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) 插值不等式的稳定性问题。核心问题在于：函数 $u$ 的“亏损”（deficit，即不等式左侧与右侧之差）是否能控制 $u$ 到极小值集合的距离。具体而言，作者探讨了该亏损是否能控制在与不等式各项相关的强范数下的距离，而非仅仅是在较弱的意义下或针对特定情况。

该研究的一个关键初步发现是，无法针对单独的范数 $\|\cdot\|_{H^p_b}$ 或 $\|\cdot\|_{L^p_a}$ 建立稳定性。作者证明，对于任何非负常数，都存在某些函数，使得尽管亏损很小，但其在任一单独范数下到极小值集合的距离仍然很大。因此，研究的重点转向了涉及这些范数的乘积或加权和的“强形式”稳定性。

方法论
作者结合了变分分析、极小值的谱性质以及精细的向量不等式。

1. 变分分析与正交性：

   • 论文确立了在亏损足够小时，函数 $u$ 到极小值集合 $M_{p,a,b}$ 的无穷距离的可达性（命题 2.1）。
   • 对于 $p=2$ 的情况，作者利用了极小值 $v$ 在 $H^2_b$、$L^2_a$ 和 $L^2_c$ 范数下关于 $u$ 满足特定正交条件的特性。这些条件允许直接导出类似勾股定理的恒等式 $\|u-v\|^2 = \|u\|^2 - \|v\|^2$，这对于稳定性估计至关重要。
   • 对于 $p > 2$，正交条件更为复杂。作者引入了一个特定的极小值子集 $P_u$（定义 3.3），该集合是通过涉及对偶配对的极大化问题定义的。他们证明了对于亏损较小的函数，存在极大值（命题 3.4）并满足必要的正交条件（命题 3.6）。

2. 精细向量不等式：

   • 为了处理 $p > 2$ 时的非线性问题，作者利用了 $\mathbb{R}^n$ 中向量的精细不等式（文献 [17] 中的引理 3.2）。这些不等式提供了包含比例项 $|z|^p$ 的 $|y+z|^p$ 的下界，使作者能够通过亏损来控制距离项 $\|u-v\|$。

3. 变换与简化：

   • 作者使用缩放变换来归一化问题。对于 $p > 2$，他们采用特定的变量代换，将一般的 CKN 参数 $(a, b)$ 简化为规范情形 $(a, b) = (-\frac{1}{p-1}, 0)$，在保持不等式结构性质的同时简化了分析过程。

4. 二阶不等式：

   • 对于二阶 CKN 不等式，作者利用了由 Chen 和 Tang [7] 推导出的恒等式（定理 1.6）。该恒等式将亏损表示为涉及拉普拉斯算子和梯度的非负项之和。通过限制在径向函数上，作者利用加权 $L^p$-Poincaré 不等式（引理 4.1）建立了弱稳定性，随后利用为一阶情况开发的方法将其提升为强稳定性。

主要结果

• 无法实现单独稳定性（命题 1.7）： 作者严格证明了不存在普适常数 $C$ 使得亏损能单独控制 $H^p_b$ 范数或 $L^p_a$ 范数的距离。这使得使用组合范数或乘积形式进行稳定性估计成为必要。

• $p=2$ 时的强形式稳定性（定理 1.8）： 对于 $p=2$ 的情况，在参数 $a$ 和 $b$ 满足特定条件下，作者确立了：
  $$\frac{\inf_{v \in M_{2,a,b}} \|u - v\|_{H^2_b} \|u - v\|_{L^2_a}}{\|u\|_{H^2_b} \|u\|_{L^2_a}} \leq C \delta_{2,a,b}(u)$$
  其中指数 $t=1$ 被证明是尖锐的（sharp）。

• $p>2$ 时的强形式稳定性（定理 1.9）： 对于 $p > 2$，作者证明了类似的结果，但具有不同的指数：
  $$\frac{\inf_{v \in M_{p,a,b}} \|u - v\|_{H^p_b} \|u - v\|_{L^p_a}^{p-1}}{\|u\|_{H^p_b} \|u\|_{L^p_a}^{p-1}} \leq C \delta_{p,a,b}(u)^{1/p}$$
  为了实现这一点，他们引入了一个更强的亏损 $\tilde{\delta}_{p,a,b}(u)$（公式 1.11），并证明了它能控制范数的加权和（定理 1.10）。

• 二阶 CKN 稳定性（定理 1.11 & 1.12）： 论文将这些结果扩展到了涉及拉普拉斯算子的二阶 CKN 不等式。虽然一般情况仍是一个开放问题，但作者为径向函数建立了弱形式和强形式稳定性结果。径向函数的强形式结果与一阶情况类似，即亏损控制着关于 $\|\Delta(u-v)\|_{L^p_b}$ 和 $\|u-v\|_{H^p_a}$ 的距离。

意义与主张
该论文声称，为包含插值项（$\theta \neq 1$）且参数非零的一类广泛的 CKN 不等式提供了首个强形式稳定性结果。

• 解决了“单独范数”问题： 本研究阐明了稳定性必须以范数的乘积或加权和形式来表述，纠正了认为单独范数稳定性可能成立的假设。
• 尖锐性： 作者证明了对于 $p=2$，指数 $t=1$ 是尖锐的，这意味着对亏损的线性依赖关系无法被改进。
• 方法论进展： 通过利用集合 $P_u$ 构建 $p>2$ 时的特定正交条件，论文克服了将标准变分技术应用于非二次泛函的困难。
• 向二阶扩展： 对二阶不等式（特别是径向函数）的研究结果，代表了在理解高阶加权 Sobolev 型不等式稳定性方面迈出的重要一步，这一课题在以往的研究中相对于一阶情况较少被探索。

论文总结道，尽管二阶不等式的通用非径向情况仍然具有挑战性，但已建立的方法为分析加权插值不等式中的稳定性提供了一个稳健的框架。