技术摘要：正则化 e-过程：基于知识的效率提升与任意时刻有效推断

1. 问题陈述

经典统计方法通常依赖于样本量预先确定的假设。然而，在许多实际应用中，数据收集是动态的，停止规则由数据本身决定（例如顺序监测）。在此类“任意时刻”场景中应用固定样本量方法会损害理论保证，导致可靠性问题并加剧可重复性危机。

尽管e-过程作为一种解决方案应运而生，通过 Ville 不等式提供“任意时刻有效”的推断（即无论停止规则如何均保持可靠性），但它们存在一个局限性：其增长率是有界的。当无法通过算法调整使 e-过程增长更快时，效率（即拒绝错误假设的速度）便会达到瓶颈。

此外，标准的任意时刻有效方法通常是“现成的”，忽略了研究者对感兴趣量 $\Theta$ 的部分先验知识。传统的贝叶斯方法需要精确的先验分布，这在信息不完整的情况下可能无法合理证明。反之，忽略此类知识则会导致效率低下。本文旨在解决将不完整、定性的先验知识纳入任意时刻有效推断中的挑战，以在保持可靠性的同时实现效率提升。

2. 方法论

所提出的框架通过正则化机制，将不精确概率（特别是可能性理论）与e-过程相结合。

2.1. 不精确概率正则化

研究者的先验知识并非编码为精确的概率分布，而是编码为不精确概率，由信念集 $\mathcal{Q}$（一组相容的概率测度）表示。这种情况的一个特例是可能性理论，其中不确定性由轮廓函数 $q(\theta) \in [0, 1]$ 量化。

• 正则化项 ($\rho$)： 定义一个函数 $\rho: \mathcal{T} \to [0, \infty)$，用于表示基于先验知识对假设 $\Theta = \theta$ 的反证据权重。为了有效，$\rho$ 必须相对于先验满足有界性条件：其在信念集下的上期望值必须 $\leq 1$（即 $\overline{\mathbb{E}}_{\mathcal{Q}}[\rho] \leq 1$）。
• 构造： 对于具有轮廓 $q$ 的可能性先验，正则化项通过校准轮廓的逆来构造：$\rho(\theta) = \{ \gamma \circ q(\theta) \}^{-1}$，其中 $\gamma$ 是一个“校准器”函数，确保期望界限成立。这使得 $\rho(\theta)$ 对于先验认为不可信的 $\theta$ 值可以很大（从而提升 e-过程）。

2.2. 正则化 e-过程

核心创新在于通过将一个标准的数据驱动 e-过程 ($e_\theta$) 乘以正则化项，定义正则化 e-过程 ($e_{\text{reg}}$)：
$$e_{\text{reg}}(z_n, \theta) = \rho(\theta) \times e_\theta(z_n)$$
这种乘法操作提升了与先验知识不相容的假设对应的 e-过程，理论上允许更快地拒绝错误假设（效率提升）。

2.3. 广义任意时刻有效性

一个关键的技术挑战是，操纵 e-过程通常会破坏其任意时刻有效性。本文通过重新定义有效性准则为依赖于知识的准则来解决这一问题。

• 该框架不再要求对所有可能的数据生成分布有效，而是要求对任何与统计模型及研究者的信念集 $\mathcal{Q}$ 相容的（数据，$\Theta$）联合分布有效。
• 这通过一个诱导上联合分布 $\overline{\mathbb{P}}$ 形式化，该分布通过对 $\mathcal{Q}$ 中所有先验及其对应的参数空间拉回取上确界而构造。

3. 主要贡献与理论结果

3.1. 广义 Ville 不等式

本文建立了正则化 e-过程的广义 Ville 不等式。

• 定理 1： 如果 $\rho$ 是相对于 $\mathcal{Q}$ 的有效正则化项，那么对于任何停止时间 $N$：
  $$\overline{\mathbb{P}}\left( e_{\text{reg}}(Z_N, f(\Omega)) > \alpha^{-1} \right) \leq \alpha$$
  这确保了第一类错误控制得以保留，但错误概率是相对于研究者的先验知识（通过 $\overline{\mathbb{P}}$）而非最坏情况的均匀界限来衡量的。

3.2. e-可能性推断模型 (IMs)

该框架将推断范围从假设检验扩展到完整的不确定性量化。

• 可能性 IMs： 正则化 e-过程被转换为可能性轮廓 $\pi_{\text{reg}}(z_n, \theta) = 1 \wedge e_{\text{reg}}(z_n, \theta)^{-1}$。
• 定理 2 与 3： 生成的e-可能性 IM 是强任意时刻有效的。它满足：
  $$\overline{\mathbb{P}}\left( \pi_{\text{reg}}(Z_N, f(\Omega)) \leq \alpha \right) \leq \alpha$$
  这意味着即使在动态停止规则下，该 IM 也能避免“虚假信心”（即系统地给错误假设分配高置信度）。

3.3. 决策论性质

本文证明了 e-可能性 IM 满足若干理想性质：

• 似然原理： 推断仅依赖于似然函数。
• 无确定损失： 从 IM 导出的定价方案是相干的，防止了“荷兰赌”情境（即代理人注定会输钱）。
• 决策制定： 该框架通过最小化上期望损失（一个 Choquet 积分）支持形式化的决策制定，提供了一种对 IM 量化的不确定性具有鲁棒性的规则。

4. 结果与图示

本文通过理论证明和数值示例验证了该方法：

• 效率提升： 在正态均值模型中，通过正则化项纳入部分先验信息（例如"95% 确定均值为正”），与未正则化的 e-过程相比，显著减少了拒绝错误假设所需的样本量。当数据与先验轻微不一致但先验很强时，这种提升最为明显。
• 临床试验应用： 该框架被应用于 Ware (1989) 的 ECMO 与 CMT 临床试验数据。
  • 先验知识（历史存活率）被编码为可能性测度。
  • 正则化 e-过程为 ECMO 存活率（先验信息较强处）产生了更紧的置信集，而为 CMT 率（先验信息较弱或与数据不相容处）产生了稍宽松的集合，展示了保守而高效的适应性。
  • 得出 ECMO 更优的结论比标准 Fisher 精确检验（缺乏任意时刻有效性）具有更强的依据，并与广义贝叶斯分析一致。

5. 意义与主张

本文声称提供了一个严格的、非渐近的框架，用于在动态数据环境中利用部分先验知识。

• 弥合差距： 它在频率学派任意时刻有效方法的严格可靠性与贝叶斯方法的效率之间架起了桥梁，而无需假设精确的先验分布。
• 可靠性与效率并存： 它证明了通过正则化获得的效率提升并不会以牺牲可靠性为代价，前提是有效性定义被适当放宽以考虑所使用的特定先验知识。
• 实用价值： 通过使用可能性理论和不精确概率，该方法允许研究者利用定性或“基于惊讶”的知识（例如“如果 $\Theta = c$ 我会非常惊讶”），而无需迫使他们编造精确的概率分布。
• 鲁棒性： 由此产生的推断对对抗性或数据依赖的停止规则是“安全”的，并避免了传统概率量化中与“虚假信心”相关的系统性误导结论。

作者指出，虽然理论已确立，但先验的实际 elicitation（将定性知识转化为可能性轮廓）仍然是未来探索中需要解决的心理和方法学挑战。此外，当前理论专注于固定维度的参数，高维适应性仍是一个未解决的问题。