技术摘要：学习量子物相的状态制备电路

问题陈述

在量子计算机上模拟物理系统需要高效地制备多体基态。虽然动力学模拟在算法方面已取得了显著进展（例如 qubitization、线性算符组合），但制备初始低能态仍然是一个瓶颈。传统的量子相位估计方法要求初始态与目标基态具有高重叠度，因此需要一种能够找到低复杂度电路来制备该状态的方法。

现有的方法通常依赖于状态的高效经典描述（例如张量网络、稳定子态），或者假设该状态可以由常数深度电路制备。最近的一种方法 [18] 展示了可以通过 $O(1)$ 大小子系统的约化密度矩阵（RDMs）来学习状态制备电路，但该方法被限制在了一维和二维，且仅适用于可通过常数深度电路（不含辅助比特）制备的状态。这排除了重要的物理相，例如拓扑有序态（如 Toric Code），这类状态无法通过常数深度电路制备，且需要随系统尺寸缩放的电路深度（例如在二维中为 $\Omega(\sqrt{n})$）。

本文解决了为更广泛的量子相学习状态制备电路的挑战，包括：

1. 短程纠缠（可逆）态：存在于任意维度中，可能涉及辅助比特。
2. 长程纠缠态（特别是具有“液体”拓扑有序的态）：在二维空间中，例如 Toric Code 和弦网模型（string-net models），前提是它们是唯一的基态（例如在球面上的状态）或其子系统。

方法论

其核心理论框架依赖于**局部可扩展态（locally extendible states）**的概念，这是对量子马尔可夫链条件的一种放宽。

1. 局部可扩展性与恢复

如果一个状态在特定子系统划分（例如 $BCDE$）下的约化密度矩阵可以通过更小的划分（例如 $BE$）通过量子信道进行恢复，则称该状态是局部可扩展的。具体而言，对于纯化态 $\rho_{ABCDE}$，存在一个信道 $\Phi: \mathcal{D}_{BE} \to \mathcal{D}_{BC}$，使得 $\rho_{ABC} = I_A \otimes \Phi(\rho_{ABE})$。

• 鲁棒性： 与标准的量子马尔可夫链条件不同（后者在常数深度电路下是脆弱的），局部可扩展性（特别是针对文中定义的划分）被证明在几何局部常数深度电路下是稳定的，前提是子系统相对于电路深度的规模足够大。
• 验证： 作者提供了一种多项式时间的经典算法来验证可扩展性并寻找恢复信道。这被表述为一个半正定规划（SDP）问题，旨在最大化恢复的保真度。或者，如果已知扩展映射的电路架构，也可以对门进行暴力搜索。

2. 通过拼接构建电路

全局状态制备电路是通过将局部扩展映射“拼接”（stitching）在一起来构建的。

• 短程纠缠态： 全局状态通过顺序应用连接不相交区域的扩展映射来构建，有效地将状态从局部块生长到整个全局系统。这产生了一个常数深度的电路（或在 $k$ 维中为 $O(kd)$）。
• 长程纠缠态： 对于像 Toric Code 这样的状态，构建过程遵循一种顺序模式（类似于顺序电路），逐层构建状态。这导致在二维中的电路深度随 $\sqrt{n}$ 缩放，这在渐近意义上是几何局部电路的最优深度。

3. 学习算法

学习算法的操作流程如下：

1. 层析（Tomography）： 对 $O(1)$ 大小的球体进行局部量子态层析，以获得近似的约化密度矩阵。
2. 扩展学习： 使用 SDP（或暴力搜索）方法学习这些局部约化密度矩阵的扩展信道。
3. 误差累积： 如果累积误差超过目标值，算法会迭代地增加局部球体的半径。
4. 组合： 将学习到的扩展映射进行组合，以形成全局状态制备电路。
5. 认证： 如果满足局部条件（可扩展性），生成的电路保证能在指定的迹距离内制备目标态。如果状态不属于目标类别，算法可能会无法在多项式时间内找到电路，但任何找到的电路都是经过严格认证的。

核心贡献与结果

1. 推广至任意维度及辅助比特

作者提出了一个针对可逆态（可通过带有辅助比特的常数深度电路制备的态）在任意空间维度 $k$ 下的算法。

• 定理 1： 给定由深度为 $d$ 的电路制备的 $n$ 量子比特可逆态的样本，该算法可以学习到一个迹距离为 $\epsilon$ 的电路。
  • 复杂度： 它可以在 $\tilde{O}(e^{O(dk)}n^3/\epsilon^2)$ 时间内输出一个深度为 $O(ke^{O(dk)})$ 的电路，或者在 $O((n/\epsilon)^{O(dk)})$ 时间内输出一个深度为 $O(kd)$ 的电路。
  • 意义： 这将之前的研究 [18] 推广到了更高维度以及更通用的可逆态类别（包括需要辅助比特的态，如 Kitaev 的 $E_8$ 态）。

2. 学习二维中的长程纠缠态

作者提出了一个针对二维中一类长程纠缠态（液体拓扑序）的算法，包括在圆盘上具有均匀边界条件的 Toric Code 和弦网模型。

• 定理 2（非正式）： 给定通过将深度为 $d$ 的电路应用于满足特定局部条件的 $n$ 量子比特态所得到的样本，该算法可以学习到一个几何局部电路。
  • 范围： 该结果特别适用于唯一基态（例如球面上的 Toric Code）或此类状态的子系统。算法的具体输入要求是具有均匀边界条件的圆盘上的状态（例如具有平滑边界条件的圆盘上的 Toric Code 基态）。它不适用于存在退化基态子空间且局部不可区分的状态（例如具有混合平滑和粗糙边界的 Toric Code）。
  • 复杂度： 它可以在 $\tilde{O}(n^3/\epsilon^2)$ 时间内输出一个深度为 $O(\sqrt{n}e^{O(d^2)})$ 的电路，或者在 $O((n/\epsilon)^{O(d^2)})$ 时间内输出一个深度为 $O(d\sqrt{n})$ 的电路。
  • 最优性： 证明了对于制备拓扑有序基态的几何局部电路，$\sqrt{n}$ 的深度缩放是渐近最优的。

3. 鲁棒性与认证

该方法依赖于局部可扩展性在常数深度电路下的稳定性。这使得算法能够学习对理想物相进行扰动的状态。此外，算法提供了严格的保证：如果它输出一个电路，该电路制备状态的精度将符合承诺，无论输入状态是否预先已知属于目标类别。

重要性与主张

本文声称提供了一个灵活且高效的框架，可以直接从局部约化密度矩阵获取一大类多体基态的状态制备电路。

• 弥合理论与实验： 该方法使得直接从量子模拟器或使用经典影子（classical shadows）的量子计算机中学习状态制备电路成为可能，而无需获得全局波函数的完整经典描述。
• 处理拓扑序： 它成功解决了学习拓扑有序态（长程纠缠态）的问题，这在之前是常数深度电路学习方法无法触及的，其前提是受限于唯一基态或其子系统。
• 经典可处理性： 寻找扩展映射的优化景观在经典上是可处理的（通过 SDP），避免了学习任意量子态时相关的指数复杂度。
• 最优性： 对于长程纠缠态，学习到的电路实现了由于局部性约束所需的渐近最优深度缩放（$\Omega(\sqrt{n})$）。

作者指出，他们的方法目前局限于“液体”拓扑相，目前尚未涵盖分形（fracton）相或具有局部不可区分的退化基态子空间的状态。他们也将向拟局部幺正算符（quasi-local unitaries）和自适应电路的扩展作为未来工作的开放课题。