Anti-associative dendriform algebras

技术摘要：反结合 dendriform 代数

问题陈述与动机
本文探讨了将“分裂”代数运算的算子框架扩展到反结合代数（anti-associative algebras）语境中的问题。虽然结合运算的分裂导致了 dendriform 代数（由 Loday 引入），而李可容许结构（Lie-admissible structures）的分裂导致了 pre-Lie 代数，但作者研究了反结合代数的类比结构。

动机源于完善关联代数范畴的交换图的愿望。具体而言，本文旨在扩展已知的反结合代数（$AAs$）、Jacobi-Jordan 代数（$J-J$）与 pre-Jacobi-Jordan 代数（$Pre-J-J$）之间的关系。正如 dendriform 代数位于关联代数与 pre-Lie 代数相关图的“左上角”，作者假设存在一个“反结合 dendriform 代数”（$AAs\text{-}Dend$）范畴，以完成反结合情形的该图。

方法论
本文采用结构与算子方法，利用以下方法：

1. 定义与验证：作者将反结合 dendriform 代数定义为配备两个双线性运算（$\succ, \prec$）的向量空间，使得它们的和为反结合运算。具体的恒等式是通过要求诱导的代数结构位于反结合代数范畴内而推导出来的。
2. 双模理论：本文利用反结合代数上的双模理论，在直和（$A \oplus V$）上构造新代数。这用于通过相容的双模结构来刻画反结合 dendriform 代数。
3. O-算子与 Rota-Baxter 算子：作者引入了反结合代数上的 O-算子，作为 Rota-Baxter 算子的推广。该工具用于从现有的反结合代数构造反结合 dendriform 代数。
4. Connes 上循环：探讨了非退化 Connes 上循环与反结合 dendriform 结构之间的关系，特别是在代数与其对偶空间的直和上的双重构造语境下。
5. 分类：本文通过分析定义恒等式对结构常数施加的约束，对复数域上的低维（2 维）代数进行了分类。

主要贡献与结果

• 反结合 dendriform 代数的定义：
  本文定义反结合 dendriform 代数 $(A, \succ, \prec)$ 为满足以下条件的向量空间：

  • $(x \succ y) \succ z = -x \succ (y \succ z)$
  • $x \prec (y \prec z) = -(x \prec y) \prec z$
  • $x \succ (y \prec z) = -(x \succ y) \prec z$
    其中总乘积 $x * y = x \succ y + x \prec z$ 是反结合的（满足 $a*(b*c) + (a*b)*c = 0$）。

• 交换图的完成：
  定理 2.7 证明了范畴 $AAs\text{-}Dend$ 完成了以下交换图：
  $$\begin{array}{ccc} AAs\text{-}Dend & \to & Pre\text{-}J\text{-}J \\ \downarrow & & \downarrow \\ AAs & \to & J\text{-}J \end{array}$$
  此处，垂直箭头分别表示到基础反结合代数和关联 pre-Jacobi-Jordan 代数的遗忘函子。

• 通过双模刻画：
  定理 2.8 确立了 $A$ 上的反结合 dendriform 代数结构等价于关联反结合代数 $(A, *)$ 上存在双模结构 $(A, L_\succ, R_\prec)$。

• O-算子与 Rota-Baxter 算子：

  • 定理 3.3：证明了与反结合代数双模相关的任意 O-算子 $T: V \to A$ 在 $V$ 上诱导一个反结合 dendriform 结构。
  • 定理 3.5：证明了反结合代数 admit 相容的反结合 dendriform 结构，当且仅当其上存在可逆的 O-算子。
  • 推论 3.7：表明反结合 dendriform 代数与自身的直和 admit Rota-Baxter 算子结构。

• Connes 上循环：
  定理 4.2 确立了反结合代数上的非退化 Connes 上循环允许构造相容的反结合 dendriform 结构。这导出了命题 4.3，该命题描述了 Connes 上循环的“双重构造”（$A \bowtie A^*$）作为此类结构的来源。

• 2 维代数的分类：
  定理 5.4 提供了复数域 $\mathbb{C}$ 上非平凡 2 维反结合 dendriform 代数的分类。非平凡情形分为两类：

  1. $Rh_1$：由 $e_1 \prec e_1 = e_2$ 定义。
  2. $Rh_2[\lambda]$：由 $e_1 \succ e_1 = e_2$ 和 $e_1 \prec e_1 = \lambda e_2$ 定义（其中 $\lambda \in \mathbb{C}$）。
     本文还指出，与交换反结合代数相关的代数是 2-幂零的。

• 幂零性与商代数：
  本文引入了这些代数的 2-幂零性概念，并证明（命题 5.6）在关于零化子的某些条件下，反结合 dendriform 代数对其零化子的商代数保留相容的反结合 dendriform 结构。

意义与主张
本文声称对“反结合 dendriform 代数”进行了系统研究，将其作为 Loday 的 dendriform 代数在反结合代数簇中的自然对应物。其主要意义在于：

1. 统一性：提供了一个统一的框架，平行于结合性的分裂，从而将算子方法扩展到反结合性。
2. 结构工具：提供 O-算子和 Connes 上循环作为构造和解释这些代数的有效工具。
3. 基础分类：通过解决 2 维情形的问题，为这些代数的分类奠定了基础，这有助于理解该簇的结构。

作者明确指出，该工作旨在解决“反结合性的分裂”问题，并将交换图 (3) 呈现为核心结构结果，确认了 $AAs\text{-}Dend$ 范畴作为反结合相关代数层级中缺失环节的存在。