Higher Sobolev regularity for mixed local and nonlocal equations with nonstandard growth

技术摘要：具有非标准增长性的混合局部与非局部方程的高阶 Sobolev 正则性

问题陈述
本文研究了混合局部与非局部 $(p, q)$-Laplace 方程的内部 Sobolev 正则性问题：
$$-\Delta_p u + (-\Delta_q)^s u = 0 \quad \text{在 } \Omega \text{ 内},$$
其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$) 是一个有界区域，$s \in (0, 1)$，且指数满足 $sq < p \le q < \infty$。该算子结合了局部 $p$-Laplacian $\Delta_p u = \text{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ 和分数阶 $q$-Laplace 算子 $(-\Delta_q)^s$。这些方程模拟了布朗运动与莱维飞行（Lévy flights）等随机过程的叠加。一个主要的分析挑战在于，由于存在不同的增长阶数（$p$ 和 $q$）以及同时存在局部与非局部项，该方程不具备尺度不变性，这阻碍了直接应用用于纯局部或纯分数阶算子的标准技术。

方法论
作者采用了一种基于有限差分商、定制能量估计和非局部尾部估计的系统化方法。核心策略是在离散层面通过精心选择的测试函数对方程进行微分，从而建立解及其梯度差分商的估计。

关键方法组成部分包括：

1. 差分商技术： 作者通过使用平移后的函数进行测试，以建立对 $\delta_h u$ 和 $\delta_h (\nabla u)$ 的界限。
2. 能量估计： 他们推导了特定的能量不等式，用以控制局部积分项（与 $\Delta_p$ 相关）和非局部尾部项（与 $(-\Delta_q)^s$ 相关）。解决的一个重要技术困难是，如何以一种与 $p$-Laplacian 提供的估计相兼容的方式，来控制由分数阶算子产生的非局部尾部。
3. 尾部估计： 分析利用了“非局部尾部”泛函，定义为 $\text{Tail}(u; x_0, r) = \left( r^{sq} \int_{\mathbb{R}^n \setminus B_r(x_0)} \frac{|u|^{q-1}}{|x-x_0|^{n+sq}} dx \right)^{\frac{1}{q-1}}$，以管理解在感兴趣区域之外的行为影响。
4. 分类讨论： 根据指数 $p$ 的不同，分析分为两个区间：
   • 超二次情形 ($p \ge 2$)： 作者针对非线性表达式 $|\nabla u|^{\frac{p-2}{2}}\nabla u$ 导出估计。
   • 亚二次情形 ($1 < p \le 2$)： 作者直接针对 $\nabla u$ 导出估计，并利用先前工作中已建立的解的 Lipschitz 连续性，从分数阶项中提取出额外的增量幂次 $|h|$。
5. Moser 型迭代： 在亚二次范围内，采用 Moser 型迭代将梯度的可积性从自然空间 $W^{1,p}$ 提高到 $W^{1,\gamma}$（对于任何 $\gamma \ge p$）。

主要贡献与结果
本文建立了混合问题的更高阶 Sobolev 正则性结果，尽管存在非局部项，其结果仍与经典 $p$-Laplace 方程已知的正则性相一致。

1. 超二次情形 ($p \ge 2$)：

   • 若 $u$ 是局部有界的，则 $|\nabla u|^{\frac{p-2}{2}}\nabla u \in W^{1,2}_{\text{loc}}(\Omega)$。这与纯 $p$-Laplace 方程已知的正则性一致。
   • 梯度 $\nabla u$ 具有更高的分数阶可微性：对于任何 $\gamma \ge p$ 和 $\alpha \in (0, 2/\gamma)$，有 $u \in W^{1+\alpha, \gamma}_{\text{loc}}(\Omega)$。

2. 亚二次情形 ($1 < p \le 2$)：

   • 假设 $u$ 是局部 Lipschitz 连续的，则解满足 $u \in W^{2,2}_{\text{loc}}(\Omega)$。这一结果与该范围内纯 $p$-Laplace 方程的正则性一致。
   • 梯度的可积性被提升至 $u \in W^{1,\gamma}_{\text{loc}}(\Omega)$，对于任何 $\gamma \ge p$。
   • 高阶分数阶可微性成立：对于任何 $\gamma \ge 2$ 和 $\beta \in (0, 2/\gamma)$，有 $u \in W^{1+\beta, \gamma}_{\text{loc}}(\Omega)$。

3. 定量估计：
   作者为解的 Sobolev 范数提供了显式的定量界限。例如，在超二次情形下，非线性项梯度的估计涉及梯度的 $L^p$ 范数和尾部泛函 $M_R = \|u\|_{L^\infty(B_{2R})} + \text{Tail}(u; x_0, 2R)$。

意义与主张
作者声称，在混合局部与非局部问题的背景下，即使是在特定的 $p$-增长设定下，其结果也是全新的。这项工作的意义体现在以下几个方面：

• 展示正则化影响： 结果表明，局部算子 $\Delta_p$ 起到了主导作用（给定 $sq < p$），它赋予了弱解在纯分数阶方程中通常无法获得的正则性属性（例如，在超二次情形下变换后的梯度具有$W^{1,2}$ 正则性）。
• 理论扩展： 本文改进了混合问题的梯度可积性结果，并提供了针对奇异范围（$1 < p \le 2$）的类似理论，扩展了这些算子的正则性理论范畴。
• 克服非尺度不变性： 该工作成功克服了缺乏尺度不变性以及由非局部效应引入的复杂性，这些因素阻碍了直接应用用于标准 $p$-Laplace 方程的方法。

本文并未提出新的应用或实验方案，而是专注于对这些混合算子正则性质进行严格的数学分析。