技术摘要：一种用于贝叶斯最优实验设计的多保真度期望信息增益估计器

问题陈述

最优实验设计（OED）旨在识别能够最大化关于模型参数的信息增益的实验条件。在贝叶斯框架下，标准目标是期望信息增益（EIG），其定义为模型参数与观测数据之间的互信息。虽然对于具有高斯先验的线性模型，EIG 在解析上是可行的，但对于非线性模型，EIG 是难以处理的。因此，必须通过数值方法进行估计，通常采用嵌套蒙特卡洛（NMC）采样。

主要的挑战在于这些估计的计算成本。评估 EIG 需要在各种参数和噪声实现下，重复评估数据模型（求解控制物理方程）。对于涉及复杂流体动力学的高保真度模型，这一过程在计算上是极其昂贵的。虽然代理模型或降阶模型可以加速计算，但简单的替换会引入偏差。现有的多保真度方法（如多层级蒙特卡洛 MLMC）虽然提供了方差缩减，但依赖于关于成本-精度关系以及向“真值模型”收敛的严格假设，这限制了它们的灵活性。

方法论

作者提出了一种基于近似控制变量（ACV）框架的新型多保真度期望信息增益（MF-EIG）估计器。该方法解决了两个关键障碍：标准 EIG 公式与 ACV 要求的不兼容性，以及如何在不引入偏差的情况下实现方差缩减。

1. EIG 的重参数化

ACV 框架的一个基本要求是，估计器的输入样本可以独立于昂贵模型评估而生成。标准的 NMC 估计器直接对观测数据 $Y$ 进行采样，这要求为每个样本求解前向模型 $Y = h(E; \Theta, \xi)$。

为了解决这个问题，作者通过将积分变量从观测数据 $Y$ 更改为底层随机数据噪声 $E$，对 EIG 进行了重参数化。假设数据模型 $h$ 是单射且连续可逆的，似然项和证据项可以根据 $E$ 和逆映射的雅可比矩阵进行重写。这种变换允许对 $Z = \{E, \Theta\}$ 取期望，其中 $E$ 和 $\Theta$ 的样本可以直接抽取，而无需评估前向模型。因此，效用函数被重新表述为 $u_E(\xi, E, \Theta)$，使其与 ACV 兼容。

2. MF-EIG 估计器

该估计器结合了一个高保真度效用模型 ($u_0$) 和一组由 $M$ 个低保真度效用模型 ($u_1, \dots, u_M$) 组成的系综。这些模型可以在以下方面有所不同：

• 数据模型保真度： 使用不同的前向模型（例如，更粗糙的网格、简化的物理特性）。
• 数值近似： 使用不同的内层循环样本量或求积规则来估计难以处理的证据项。

MF-EIG 估计器定义为：
$$\tilde{U}(\xi, z; \alpha, A) := \hat{U}_0(\xi, z_0) + \sum_{m=1}^M \alpha_m \left( \hat{U}_m(\xi, z^*_m) - \hat{U}_m(\xi, z_m) \right)$$
其中 $\hat{U}_m$ 是各保真度层级的标准蒙特卡洛估计器，$z$ 代表分配的样本集，$\alpha$ 是控制变量权重。该估计器对于高保真度均值 $u_0$ 是无偏的，并且通过优化样本分配 $A$ 和权重 $\alpha$，在给定的计算预算下最小化方差。

3. 实际增强措施

论文详细说明了针对加性噪声和比例噪声数据模型的具体实现。此外，它还引入了两种实际的增强措施：

• 内层循环样本量优化： 对低保真度模型的内层循环样本数 ($N_{in,m}$) 进行优化，以平衡相关性和计算成本，因为过少的样本会降低相关性，而过多的样本则收益递减。
• 样本重用： 为了增强不同效用模型之间的相关性，作者建议在不同保真度层级之间重用参数 $\Theta$ 的内层循环样本。这一策略显著提升了有效方差缩减所需的相关结构。

主要贡献

1. 新型 MF-EIG 估计器： 推导了一种在 ACV 框架下的无偏多保真度 EIG 估计器，该估计器可以容纳通用的模型系综，且不需要特定的成本-精度收敛假设。
2. 重参数化策略： 一种对 EIG 的数学重构，将期望与数据模型解耦，从而能够将 ACV 技术应用于 OED 问题。
3. 优化技术： 开发了优化内层循环样本量和实现样本重用的策略，以最大化方差缩减。
4. 实现： 将该估计器集成到 MXMCPy 工具箱中，允许灵活的分配策略，涵盖了现有的 MFMC 和 MLMC 方法作为特例。

数值结果

作者使用两个数值算例验证了 MF-EIG 估计器：

情况 1：非线性基准

一个具有加性噪声和比例噪声的一维非线性问题。

• 方差缩减： 与使用朴素方法的单保真度 NMC 相比，MF-EIG 估计器实现了 6–8 倍 的方差缩减。
• 优化影响： 优化内层循环样本量带来了额外的 6–12% 的改进。
• 样本重用： 实现样本重用带来了最显著的收益，实现了 17–23 倍 的方差缩减（大约是未使用重用情况下的两倍改进）。

情况 2：湍流流场标定

一个涉及在雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）框架内标定剪切应力传输（SST）湍流闭合模型参数的多维问题。四个具有不同网格分辨率的求解器分别代表不同的保真度层级。

• 方差缩减： 在整个设计空间内，与单保真度 NMC 相比，MF-EIG 估计器实现了 一到两个数量级（19–71 倍）的方差缩减。
• 最优设计性能： 在特定的最优设计位置，方差缩减更为显著，达到了 94 到 233 倍。
• 物理见解： 结果强调，最具信息量的设计位于平板边界层内的前缘附近，在该处求解器之间的相关性很高，但物理敏感性也达到最大。该估计器成功地以高置信度区分出了最优设计，而单保真度估计器由于方差过大而难以实现。

意义与主张

论文声称，MF-EIG 估计器提供了一种鲁棒、无偏且高效的传统单保真度 EIG 估计的替代方案。通过利用 ACV 框架，该方法在固定的计算预算下最小化方差，且无需 MLMC 所需的严格收敛假设。

作者强调，该估计器对于高保真度均值是无偏的，确保了实验设计的优化不会受到多保真度近似的影响。结果表明，该方法可以在保持准确性的同时，将计算成本降低一个到两个数量级。论文得出结论，内层循环样本重用是最大化多保真度方法收益的关键技术，而优化内层循环样本量则提供了适度但有价值的额外收益。

这项工作将 MF-EIG 定位为复杂工程应用（如湍流建模）中的实用工具，在这些应用中，高保真度模拟非常昂贵，且高效的实验设计至关重要。