On variants of Chowla's conjecture

技术摘要：关于 Chowla 猜想的变体

问题陈述
本文研究了与完全乘性函数 $f: \mathbb{N} \to \{\pm 1\}$ 相关的移位卷积和。研究的核心是如下平均值的行为：
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sum_{n \le x} f(n+h_1) \cdots f(n+h_d)$$
其中 $H = \{h_1, \dots, h_d\}$ 是一个固定的非负整数集合。该问题是 Chowla 猜想的一个直接变体，Chowla 猜想断言对于 Liouville 函数 $\lambda$（即对于所有素数均有 $f(p)=-1$），对于任何非空集合 $H$，该极限为零。本文专门考察了形式为 $\lambda_P$ 的函数，其中 $\lambda_P$ 定义为：若 $p \in P$ 则 $\lambda_P(p) = -1$，否则为 $1$，这里$P$是一个素数集合。研究探讨了两个主要问题：当$P$ 是一个“小集合”（即倒数之和收敛的素数集合）时这些极限的求值，以及可能极限值的“谱”（spectrum）的确定。

方法论
作者采用了初等组合论论证和自然数子集的结构分析，避免了近期相关文献中常见的如 Tauberian 定理或深层遍历理论等沉重的解析工具。

关键方法论组成部分包括：

1. 对称差结构： 本文利用了素数子集（在对称差运算下）与完全乘性函数（在逐点乘法下）之间的群同构关系。这使得通过引理 2（该引理描述了在改变 $P$ 和 $H$ 时集合 $N^H_P = \{n \mid \Lambda^H_P(n) = -1\}$ 的变化关系）可以将复杂的关联和分解为更简单的分量。
2. 密度逼近： 证明依赖于使用算术级数有限并集的 $C(r, s)$ 来逼近集合 $N^H_P$ 的自然密度。通过在由这些算术级数生成的代数内构造上界和下界（$X^H_P(r)$ 和 $Y^H_P(r)$），作者确立了自然密度 $\eta^H_P$ 的存在性。
3. 归纳极限过程： 对于有限素数集，密度可以被显式计算。对于无限“小”集合，作者使用了一个极限过程，表明密度逼近中的误差项受限于剩余素数的倒数之和。这确保了仅当 $P$ 为小集合时才具有收敛性。
4. 定理 2 的组合归约： 为了处理极限可能等于 $\pm 1$ 的情况，本文采用了关于对对称差和平移运算封闭的集合族的组合论证（引理 5，归功于 Wildon）。这通过调用 Matomäki–Radziwiłł 关于短平均值的定理，将问题归约为二点相关性问题。

主要贡献与结果

• 定理 1（小素数集）： 对于固定的 $H$ 和小素数集 $P$，极限 $\kappa^H_P = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sum_{n \le x} \Lambda^H_P(n)$ 存在，并由一个类似欧拉乘积的形式给出：
  $$\kappa^H_P = \prod_{p \in P} (1 - 2\eta^H_p)$$
  其中 $\eta^H_p$ 是整数 $n$ 满足 $\Lambda^H_{\{p\}}(n) = -1$ 的自然密度。对于非异常素数（即不整除 $H$ 中元素差值的素数），$\eta^H_p = \frac{d}{p+1}$。作者指出，尽管这一结果可以从已有工作（特别是 [10]）中推导出来，但所提供的证明是初等的且是组合性的。

• 定理 2（非常数函数）： 如果 $\lambda_P$ 是一个非恒常的完全乘性函数（即 $P \neq \emptyset$），那么相关性平均值不能恒等于 $1$或$-1$。具体而言：
  $$\liminf_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sum_{n \le x} \Lambda^H_P(n) < 1 \quad \text{且} \quad \limsup_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sum_{n \le x} \Lambda^H_P(n) > -1$$
  该结果意味着对于任何非平凡的 $P$，其值不会是完全相关的。证明依赖于关于短平均值的 Matomäki–Radziwiłł 定理，但本文提供了一个新的组合框架将其应用于此特定语境。

• 谱的确定： 本文定义了“谱” $\Gamma_H$ 为所有可能的 $\kappa^H_P$ 值（当 $P$ 在所有小素数子集中变化时）的拓扑闭包。作者证明了 $\Gamma_H = [\alpha_H, 1] \cup [0, 1]$，其中 $\alpha_H = \inf_p (1 - 2\eta^H_p)$。这刻画了小素数集下可能的相关值值的完整范围。

意义与主张
本文声称为 Chowla 猜想方向上的两项近期成果提供了组合证明，为处理此类问题提供了不同于文献中（如 Matomäki, Radziwiłł 和 Teräväinen 的工作）更为复杂的解析或遍历理论方法的替代方案。

作者强调：

1. 尽管函数 $\Lambda^H_P$ 不是乘性的，且其相关的狄利克雷级数可能无法延展到 $\Re(s) > 1$ 之外，但定理 1 中乘积公式的推导是“相对初等的”。
2. 极限的乘性结构（欧拉乘积）符合“全局密度是局部密度的乘积”这一原则，即使在底层函数不具备乘性性质的情况下也是如此。
3. 这项工作阐明了这些求和在“小”素数集下的行为，在这种情况下极限是非零的，并将其与对于“大”集合（这将意味着 Chowla 猜想成立）预期极限为零的情况进行了对比。

本文并未声称证明了针对 Liouville 函数的 Chowla 猜想（即 $P$ 为全体素数，这是一个大集合），并指出此类推广对于目前的手段而言是“难以企及的”。相反，它旨在严格建立这些相关性在 Liouville 函数的小扰动下的行为，并绘制出其可能取值的谱图。