The validity of the universal relation between corrections to entropy and the extremality of Schwarzschild-de Sitter black holes under the GUP and EUP

技术摘要：GUP 与 EUP 下 Schwarzschild-de Sitter 黑洞中普遍关系的有效性

问题陈述
本文研究了 Goon-Penco 普遍热力学关系的有效性，该关系将极值质量边界对扰动参数 $\epsilon$ 的导数与熵对该参数的导数联系起来。虽然先前的研究（特别是文献 [20]）已证实，在标准条件下，该关系对于 Schwarzschild-de Sitter (SdS) 黑洞在 Nariai 极限下是成立的，但本研究探讨了当系统受到广义不确定性原理 (GUP) 和扩展不确定性原理 (EUP) 引起的修正时，该关系是否仍然有效。核心问题在于，由这些量子引力修正引入的附加项是否可以通过特定的匹配条件与该普遍关系相协调，或者它们是否从根本上违反了极值边界。

研究方法
作者在 Nariai 极限（即事件视界与宇宙视界重合，$T \to 0$）的框架内采用了摄动方法。研究分为三个主要阶段：

1. 基准回顾： 在作用量 $I = \frac{1}{16\pi} \int d^4x \sqrt{-g} (R - 2(1+\epsilon)\Lambda)$ 下，回顾了 SdS 黑洞的标准热力学变量（质量 $M$、熵 $S$、温度 $T$），建立了基准 Goon-Penco 关系：$\frac{\partial M_{ext}}{\partial \epsilon} = \lim_{M \to M_{ext}} [-T (\frac{\partial S}{\partial \epsilon})_{M}]$。
2. GUP 分析： 引入 GUP 为 $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}[1 + (\beta l_p / \hbar)^2 \Delta p^2]$。这导致了修正的视界半径 $r'_H$ 以及相应的修正熵 $S'$。作者推导了修正后的质量、温度以及扰动参数 $\epsilon$ 对熵的偏导数（保持质量不变）。
3. EUP 分析： 引入 EUP 为 $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}(1 + \frac{\alpha}{L_*^2} \Delta x^2)$，其中 $L_*$ 是一个大的基本距离尺度。这导致了修正的视界半径 $r_H$ 和修正的熵 $S$。与 GUP 的情况类似，作者推导了修正后的热力学量并测试了该普遍关系。

在这两种情况下，作者都计算了 Goon-Penco 关系右侧的极限，并将其与极值质量的导数 $\frac{\partial M_N}{\partial \epsilon}$ 进行比较。他们试图寻找“匹配条件”（热力学变量或参数的具体约束），以迫使等式两端相等。

主要贡献与结果

• GUP 违背： 在 GUP 下，修正后的熵和质量引入了依赖于无量纲参数 $\beta$ 的附加项。在评估极限 $\lim_{M \to M_N} [-T' (\frac{\partial S}{\partial \epsilon})_M]$ 时，结果包含涉及 $\beta$ 的额外项，这些项与 $\frac{\partial M_N}{\partial \epsilon}$ 不匹配。作者证明，满足普遍关系所需的匹配条件的唯一途径是 $\beta l_p = 0$。因此，对于任何非零的 GUP 修正，普遍关系都被违反了。
• EUP 违背： 在 EUP 下，修正取决于参数 $\alpha/L_*^2$。分析产生了一个涉及扰动参数 $\epsilon$、宇宙半径 $l$ 和 EUP 因子的复杂匹配条件（公式 48）。作者表明，该方程对于实数物理量没有解。因此，无法通过施加匹配条件来恢复等式。$\alpha$ 项的存在本质上破坏了普遍关系。
• 一般结论： 研究得出结论，Goon-Penco 普遍关系在受到 GUP 或 EUP 修正时并不具有鲁棒性。由这些不确定性原理产生的附加项无法通过调整热力学变量或施加特定条件来抵消或匹配，除非完全移除 GUP 和 EUP 的影响（即 $\beta=0$ 且 $\alpha=0$）。

意义与主张
本文认为，修正后的海森堡不确定性原理（GUP 和 EUP）从根本上违反了 Schwarzschild-de Sitter 黑洞中 Goon-Penco 极值关系的有效性。作者声称，当以这些不确定性原理的形式引入量子引力效应时，该关系的“普遍”性质被打破了。

这项工作的意义在于挑战了量子引力背景下热力学极值关系的普遍性。作者指出，如果 GUP 或 EUP 是某些尺度下自然的有效描述，那么 Goon 和 Penco 所提出的熵修正与极值边界之间的特定热力学联系对于 SdS 黑洞并不成立。论文谦虚地提出，这些发现应促使进一步探索在相同条件下，类似的违背现象是否也会发生在 Reissner-Nordstrom-de Sitter 和 Kerr-de Sitter 黑洞中，并指出涉及电荷或角动量的额外项不太可能通过不同的参数选择来抵消。