技术摘要：用于四旋翼无人机轨迹跟踪的误差状态 LQR 公式化方案

问题陈述

四旋翼无人机（UAV）的控制由于其固有的非线性动力学、欠驱动特性以及在动态环境中进行精确轨迹跟踪的需求而变得复杂。传统的控制方法通常在高效处理这些非线性与维持实时应用所需的计算可行性之间面临权衡。具体而言，使用欧拉角等标准参数化表示姿态误差会引入奇异性，而直接控制全非线性动力学对于高频反馈回路而言计算成本过高。

方法论

本文提出了一种**误差状态线性二次调节器（Error-State LQR）**公式化方案，旨在通过级联控制架构和特定的数学误差表示来解决这些挑战。

1. 误差状态表示

该方法的核心是定义了一个捕捉偏离标称轨迹偏差的误差状态向量 ($\delta x$)。

• 状态定义： 全状态包括位置 ($p$)、速度 ($v$) 和姿态（由单位四元数 $q$ 表示）。
• 误差定义： 误差状态 $\delta x = [\delta p, \delta \theta, \delta v]^T$ 通过从真实状态中减去标称状态来构建。
• 姿态处理： 至关重要的是，姿态误差并非以四元数差或欧拉角表示。相反，它利用了指数坐标 ($\delta \theta$)，其中旋转误差矩阵定义为 $\delta R = \exp([\delta \theta]_\times)$。这提供了一种紧凑且无奇异性的姿态误差表示方法。

2. 系统动力学与线性化

本文基于单一刚体假设和集总质量，推导了真实状态、标称状态及误差状态的运动学与动力学。

• 推导： 推导了误差状态的时间导数 ($\dot{\delta p}, \dot{\delta v}, \dot{\delta \theta}$)。推导过程采用了小角度近似并忽略了二阶项，以简化真实动力学与标称动力学之间的关系。
• 线性化： 在当前跟踪误差处以足够高的频率对非线性误差状态动力学进行线性化。这种迭代重线性化使得系统可以表示为 $\dot{\delta x} \approx A\delta x + B\delta u$ 的形式，其中 $A$ 和 $B$ 是基于误差动力学导出的雅可比矩阵。这种方法通过不断更新线性化点，使得在非线性系统上使用线性控制理论成为可能。

3. 控制架构

该控制策略实现为一个级联系统：

• 外环 (LQR)： 设计一个 LQR 控制器来最小化二次代价函数 $J = \int_0^\infty (\delta x^T Q \delta x + \delta u^T R \delta u) dt$。控制器通过计算反馈增益矩阵 $K$（通过代数黎卡提方程）来生成修正控制输入 $\delta u = -K\delta x$。总控制输入为 $u_t = u - K\delta x$。
• 内环 (角速率控制器)： LQR 将期望角速度视为虚拟控制输入。采用级联角速率控制器来跟踪这些期望速度。该内环使用带有反馈线性化的比例（P）控制器，根据惯性张量 $J$ 以及期望角速度与实际角速度之差来计算所需的转矩 $\tau$。

核心贡献

• 无奇异性姿态误差： 本文展示了使用指数坐标表示姿态误差的方法，避免了与欧拉角相关的奇异性问题。
• 迭代重线性化： 提供了一个详细的推导过程，表明如何围绕当前误差对误差状态动力学进行线性化，从而允许 LQR 控制器有效地作用于非线性四旋翼动力学并在实时环境下运行。
• 级联控制集成： 本研究将 LQR 轨迹跟踪器与角速率控制器相结合，明确处理了从虚拟角速度指令到物理执行器转矩的映射。
• 完整的数学推导： 本文提供了误差状态运动学、线性化过程以及构建 LQR 公式所需的雅可比矩阵 ($A$ 和 $B$) 的完整数学推导。

结果

本文通过仿真结果展示了所提控制器的性能。

• 轨迹跟踪： 结果表明控制器能够成功跟踪纽式曲线（双纽线/字母“8”形）轨迹。
• 偏航角跟踪： 系统能够有效地沿轨迹跟踪偏航角。
• 初始条件： 结果指出，轨迹起始阶段的跟踪误差归因于无人机起始于平坦初始姿态（$q_0 = (1, 0, 0, 0)^T$），随后控制器对其进行了修正。

意义与主张

本文声称，这种误差状态 LQR 公式化方案为四旋翼轨迹跟踪提供了一种鲁棒且计算高效的解决方案。通过利用指数坐标和迭代线性化，该方法实现了：

1. 精确性与稳定性： 能够在动态环境中将位置、速度和姿态误差驱动至零。
2. 实时适用性： 线性化系统表示允许高频控制更新，而不会带来在每一步求解全非线性最优控制问题的计算负担。
3. 鲁棒性： 该方法通过专注于最小化相对于标称轨迹的偏差，而非直接控制全非线性动力学，从而处理了四旋翼的非线性问题。

这项工作为精确的四旋翼控制提供了一个实用的框架，架起了经典线性控制理论（LQR）与复杂的非线性无人机飞行现实之间的桥梁。