Sums of Powers of Sine and Generalized Bernoulli Polynomials

技术摘要：正弦函数幂次和与广义伯努利多项式

问题陈述
本文致力于推导在 $\pi$ 的特定有理倍数处取值的正弦函数负整数次幂之和的显式闭式公式。具体而言，作者研究了以下量：
$$S(s,n) = \sum_{j=1}^{2n-2} \frac{1}{\sin^s \left( \frac{(2j-1)\pi}{2n} \right)}$$
主要目标是用广义伯努利多项式、欧拉多项式和伯努利数来表示这些和。次要目标是利用这些求和公式推导黎曼 $\zeta$ 函数的积分表示，特别是针对奇数整数参数，并建立离散和与 $\zeta$ 函数值之间的联系。

方法论
本文采用生成函数、组合恒等式和矩阵代数的组合方法来推导其结果。

1. 生成函数与多项式：核心机制依赖于广义伯努利多项式 $B_n^{(\alpha)}(x)$ 和欧拉多项式 $E_n(x)$ 的生成函数。作者利用了这些多项式的已知性质，包括它们的导数、对称关系（例如 $B_n^{(\alpha)}(\alpha-x) = (-1)^n B_n^{(\alpha)}(x)$）以及与第一类和第二类斯特林数的关系。
2. 矩阵表述：方法论的很大一部分涉及定义一组 $(2n-2) \times (2n-2)$ 矩阵，记为 $M_n$。这些矩阵将正弦函数的幂次与具有不同参数的正弦函数的线性组合联系起来。具体而言，本文建立了如下关系：
   $$\frac{1}{\sin^r \left( \frac{(2j-1)\pi}{2n} \right)} = 2^r \sum_{k=1}^{2n-2} M_n(j,k) \sin \left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right)$$
   作者分析了这些矩阵的性质，指出对于奇数次幂 $r$，这些矩阵是可交换的，并且完全由其第一行决定。
3. 归纳证明：$S(2m+1, n)$（负奇数次幂）和 $S(2k, n)$（负偶数次幂）的一般公式的推导是通过归纳法进行的。作者展示了如何通过乘以 $\sin(\pi/2n)$ 或 $1/\sin(\pi/2n)$ 来变换矩阵行的系数，从而实现从幂次 $r$ 到 $r \pm 1$ 的过渡。
4. 极限过程：为了将离散和与黎曼 $\zeta$ 函数联系起来，本文利用了极限定义：
   $$\zeta(m) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2^m \pi^m}{2^m - 1} \right) \frac{1}{2^{mn-m}} S(m,n)$$
   通过分析推导出的公式在 $n \to \infty$ 时的渐近行为，作者分离出主导项以产生积分表示。

主要贡献与结果

• 奇数次幂的公式：本文推导出了 $S(2m+1, n)$ 的一般公式，表示为涉及欧拉多项式和广义伯努利多项式的和。

  • 定理 4.1 给出了显式公式：
    $$S(2m+1,n) = \frac{(-1)^m 2^{2mn}}{(2m)!} \sum_{j=1}^{2n-2} \sum_{k=0}^{m-1} \left[ \frac{2(n-1)(-2k-1)}{2^{2k+1}} \binom{2m-1}{2k} B_{2k}^{(2m)}(m) \right] \left( 2n-1 E_{2m-2k}\left(\frac{j}{2n-1}\right) - m E_{2m-2k-1}\left(\frac{j}{2n-1}\right) \right) \frac{1}{\sin \left( \frac{(2j-1)\pi}{2n} \right)}$$
  • 该结果推广了引言中之前列出的特定情况（例如 $S(3,n), S(5,n)$）。

• 偶数次幂的公式：本文提供了一个 $S(2k, n)$ 的闭式表达式，涉及伯努利数和黎曼 $\zeta$ 函数。

  • 定理 5.1 指出：
    $$S(2k,n) = \sum_{j=1}^{k} \frac{(-1)^{j+k} 2^{2j(n-2)+2k}(2^{2j}-1)}{\pi^{2j}(2(k-j))!} B_{2(k-j)}^{(2k)}(k) \zeta(2j)$$
  • 该公式允许使用 $\zeta$ 函数值的有限和来计算 $S(2k,n)$，与直接求和相比，显著降低了计算复杂度。

• $\zeta(2j+1)$ 的积分表示：

  • 推论 4.2 推导出了奇数整数处黎曼 $\zeta$ 函数的新积分表示：
    $$\zeta(2j+1) = \frac{(-1)^j 2^{2j} \pi^{2j+1}}{(2j)!(2^{2j+1}-1)} \int_0^{1/2} E_{2j}(x) \csc(\pi x) \, dx$$
  • 这是通过取 $S(2m+1, n)$ 的离散和公式在 $n \to \infty$ 时的极限得到的，有效地将黎曼和转换为积分。

• 矩阵性质：本文详细描述了 $M_n$ 矩阵在奇数次幂和偶数次幂下的结构。它证明了对于奇数次幂，矩阵是可交换的并具有置换结构，而对于偶数次幂，矩阵不可交换，尽管特定列中元素的和为零。

意义与主张
本文声称推导出了正弦函数幂次和的显式公式，这些公式此前仅适用于低阶情况或需要复杂的递归计算。通过将此类和与广义伯努利多项式和欧拉多项式联系起来，作者为这些三角和提供了一个统一的代数框架。

作者强调的主要意义在于推导出了 $\zeta(2j+1)$ 的积分表示。虽然偶数整数处的黎曼 $\zeta$ 函数值通过伯努利数已得到充分理解，但奇数整数处的值仍然较难处理。本文将此积分形式呈现为一种“优美”的表示，它是直接从正弦函数的离散求和性质推导出来的。此外，本文指出了所推导的偶数次幂公式的计算效率，对比了直接求和所需的 $O(n)$ 次运算与使用涉及 $\zeta$ 函数值的闭式表达式所需的常数次运算。

这项工作被呈现为对三角和、特殊多项式与黎曼 $\zeta$ 函数之间关系的理论探索，依赖于既定参考文献进行基础证明，同时扩展了针对一般 $n$ 和 $s$ 的特定公式。