Cyclic Nullspace Coordination: Perpetual Flight of Aerial Carriers for Static Suspension

技术摘要：用于空中载体永飞作业的循环零空间协调

问题陈述
本工作解决了在 $n$ 个空中载体（$n \geq 3$）执行非停止飞行（即具有非零前飞速度）的同时，保持缆索悬挂的刚体负载处于恒定静态姿态（固定位置和方向）的挑战。虽然先前的研究确立了 $n=3$ 时的理论可行性，并证明了 $n < 3$ 是不可能的，但针对任意 $n \geq 3$ 的通用构造性方法一直缺失。核心难点在于调和负载的静态平衡约束（要求特定的力平衡）与载体的动态约束（要求持续运动以避免悬停，这对于固定翼或可转换无人机至关重要）。

方法论
所提出的方法论称为“循环零空间协调”，通过操纵系统零空间内的内力，为载体生成协调的周期性轨迹。该方法依赖于两个主要支柱：

1. 基于哈密顿回路的零空间构建：
   该方法在抓取矩阵 $G$ 的 $(3n-6)$ 维零空间内，选择 $n$ 个线性独立的内力方向。这些方向源自连接负载上 $n$ 个缆索附着点的完全图上的哈密顿回路 $H$ 的边。通过将回路边映射到零空间矩阵 $N$，每根缆索的内力被分解为两个不同的二维仿射子空间。这种构建确保了力的演化方式满足静态平衡方程 $G(\bar{R}_L)f(t) = w_0$，同时允许力随时间变化。

2. 用于周期性轨迹的图着色：
   为了确保载体永不停止（即其速度范数 $\|\dot{p}_{R_i}(t)\|$ 保持严格为正），零空间力的时变系数 $\lambda(t)$ 被选为周期函数。本文采用图着色策略，将哈密顿回路的每条边分配特定的周期函数（例如，具有特定相移的正弦波）。着色确保对于任何载体 $i$，两条相邻边函数的导数（$\dot{\lambda}_i$ 和 $\dot{\lambda}_{i+1}$）不会同时为零。这保证了缆索力的时间导数 $\dot{f}_i(t)$ 非零且不与力本身共线，进而通过运动学关系 $\dot{p}_{R_i} \propto \dot{f}^\perp_i$ 确保载体保持非零速度。

该算法通过以下步骤计算这些轨迹：

• 选择一个满足几何非退化条件（附着点未对齐，力方向不与平衡力共线）的有效哈密顿回路。
• 通过边着色为回路边分配周期函数（偶数 $n$ 使用 2 个函数，奇数 $n$ 使用 3 个函数）。
• 计算由此产生的缆索力，并通过运动学反演推导载体位置和速度。

主要贡献

• 通用存在性证明： 本文提供了针对任意数量载体 $n \geq 3$ 保持静态负载的非停止飞行轨迹存在性的首个证明，扩展了此前仅限于 $n=3$ 的最小化发现。
• 构造性算法： 提出了一种完整的、可扩展的算法来生成这些轨迹，包括调整参数（频率、幅度、边着色）的指南以及选择哈密顿回路以优化性能的方法。
• 固定翼兼容性： 该方法经过调整，包含一个规划层，以强制执行固定翼无人机的典型约束（速度、滚转角、航迹角界限），证明了非停止操作与固定翼动力学是兼容的。
• 鲁棒性分析： 工作分析了系统对参数不确定性（质量、缆索长度、附着点）的敏感性，并调查了单载体故障的影响，表明即使一个载体脱离，负载姿态误差仍保持有界。

结果

• 仿真： MATLAB-Simulink 中的广泛数值仿真验证了理论发现。结果证实，载体可以在执行周期性、非零速度轨迹的同时保持静态负载姿态。仿真表明：
  • 尽管存在传感器噪声和跟踪误差，负载姿态误差仍保持较低水平（位置误差 < 几厘米，姿态误差 < 2 度）。
  • 哈密顿回路的选择影响最小载体速度；具有正交内力方向的回路产生恒定速度剖面，而非正交方向则增加速度变化性。
  • 系统对单载体故障具有鲁棒性，负载姿态误差保持有界。
  • 固定翼兼容规划器成功生成了满足速度和角度约束的轨迹。
• 实验： 使用四架系留于十字形负载的 Crazyflie 2.1 四旋翼无人机进行了实验室实验。
  • 采用所提方法时： 负载保持基本静止（平均位置误差约 5.6 厘米，姿态误差约 1-3 度），而四旋翼无人机在连续环路中移动。
  • 未采用该方法时（控制案例）： 当一架四旋翼无人机的轨迹不同步时，负载表现出显著的线速度和角速度，证实了循环协调对于静态悬挂是必要的。
  • 实验验证了“缆索抽象”的有效性，表明尽管存在未建模的缆索弹性且缺乏负载状态反馈，理论模型在实践中依然成立。

意义
本文声称通过解决 $n \geq 3$ 的通用情况并提供首个非停止空中操作的构造性设计，构成了“实质性的飞跃”。其意义在于通过将长距离运输（非停止飞行）与精确负载控制相结合，实现了节能的空中操作。这种能力对于无法悬停的固定翼和可转换无人机尤为相关，从而将协同空中操作的操作包络扩展到包含连续飞行场景，同时保持负载稳定性。这项工作弥合了理论零空间控制与实际非停止飞行约束之间的差距。