Floquet-ADAPT-VQE: A Quantum Algorithm to Simulate Non-Equilibrium Physics in Periodically Driven Systems

技术摘要：Floquet-ADAPT-VQE

问题陈述
周期性驱动（Floquet）量子系统展现出静态系统中不存在的非平衡态现象，例如时间晶体和 Floquet 拓扑。然而，模拟这些系统比模拟平衡态系统要困难得多，因为这涉及到希尔伯特空间的指数级增长，以及通过近似时间演化（如 Trotter 化）引入的误差。虽然数字量子计算机为这类模拟提供了通用平台，但当前的方法面临着特定的局限性：

1. 时域算法通常需要涉及 Trotter 化和迭代量子相位估计（IQPE）的深层电路，这限制了它们只能模拟短时间周期或高频情况。
2. 频域算法（例如变分哈密顿量拟设）通常依赖于维度有限的辅助空间，缺乏针对任意比特截断的辅助矩阵 Pauli 分解的一般性方案，并且在拟设初始化方面存在困难，导致收敛性较差。
3. 普遍差距： 目前尚不存在建立的、通用的扩展 Floquet 哈密顿量的 Pauli 串分解方法，这阻碍了在 Floquet-希尔伯特空间形式体系内系统地实现量子算法。此外，现有方法缺乏一种框架，用于计算相对于 Floquet 态的观测量的期望值，而无需使用深层电路。

方法论
作者提出了 Floquet-ADAPT-VQE，这是一种混合量子-经典算法，旨在通过将周期性驱动系统映射到其时不变形式来模拟这些系统，该方法利用了 Floquet-希尔伯特空间形式体系。

1. Floquet-希尔伯特空间映射：

   • 将随时间变化的哈密顿量 $\hat{H}(t)$ 转换为作用在张量积空间 $\mathcal{F} = \mathcal{A} \otimes \mathcal{H}$ 上的有效时不变扩展 Floquet 哈密顿量 $\hat{\hat{H}}_F$，其中 $\mathcal{H}$ 是物理希尔伯特空间，$\mathcal{A}$ 是代表傅里叶模（Floquet 区）的辅助空间。
   • 作者提供了一种系统的方法，将辅助矩阵（对角项和非对角项）分解为适用于基于比特处理器的原生 Pauli 串。他们证明了这些矩阵可以分解为规模为 $O(2^{n_a})$ 的 Pauli 串子集，而非完整的 $4^{n_a}$（其中 $n_a$ 是辅助比特数）。
   • 为了确保在截断后哈密顿量在 Floquet 区内具有厄米性和对称性，他们引入了非对称修正项（$A^{asy}$）并提供了其显式的 Pauli 分解。

2. 算法设计 (Floquet-ADAPT-VQE)：

   • 代价函数： 该算法并非直接最小化 $\hat{\hat{H}}_F$ 的期望值（因为这会针对截断误差最大的最低 Floquet 区），而是最小化代价函数 $C_\lambda(\vec{\theta}) = \langle \psi(\vec{\theta}) | (\hat{\hat{H}}_F - \lambda \hat{\mathbb{I}})^2 | \psi(\vec{\theta}) \rangle$。通过选择位于中心 Floquet 区（$-\Omega/2 < \lambda < \Omega/2$）内的 $\lambda$，算法能够瞄准具有最小截断误差的状态。
   • 初始态： 一个关键贡献是确定了一个特定的辅助初始态 $|0\rangle$（它是对角辅助矩阵 $A_d$ 特征值为零的特征态）。作者证明并从数值上演示了该状态的平方 Floquet 能量与辅助比特数 ($n_a$) 以及驱动频率 ($\Omega$) 无关。这确保了初始态保持在中心 Floquet 区附近，从而显著提高了收敛性，优于随机初始态。
   • 算符池： 构建了一个“混合 Floquet 池”，它结合了用于辅助空间的 Pauli 算符和用于物理空间的特定问题算符（例如两体局部算符），以管理梯度测量成本。

3. 观测量与动力学：

   • 该框架能够通过固定深度的量子电路计算随时间变化的期望值以及制备随时间周期的 Floquet 态 $|\phi(t)\rangle$。
   • 通过对辅助比特应用随时间变化的 $Z$ 旋转并在特定基底中进行测量，该算法可以提取微运动（micromotion）动力学，而其电路深度不会随演化时间增长（这与原始希尔伯特空间中的 Trotter 化方法不同）。

关键结果
作者通过对一个带有外部磁场的周期性驱动 XYZ 自旋链进行经典数值模拟，验证了该算法：

• 收敛性： 模拟确认，所提出的初始态（$|0\rangle \otimes |\phi_p\rangle$）产生的平方 Floquet 能量不会随 $n_a$ 或 $\Omega$ 的增加而增加，而随机初始态的表现则会随着这些参数的增加而下降。
• 准确性： 在各种驱动参数（包括不同的驱动频率和振幅）下，该算法成功计算出的准能量和 Floquet 特征态与通过 Floquet 幺正算符 $\hat{U}_F$ 获得的精确对角化结果相匹配。
• 能谱重构： 通过调节偏移参数 $\lambda$，该算法成功重构了中心 Floquet 区内的完整准能量谱。
• 观测量： 该方法成功计算了净磁化强度和两点相关函数的期望值。

意义与主张
本文声称解决了文献中的基本空白，提供了：

1. 一个通用框架： 扩展 Floquet 哈密顿量的系统性 Pauli 分解，使得在近期的（NISQ）和容错量子计算设备上实现 Floquet-希尔伯特空间算法成为可能。
2. 高效性： 一种避免使用 Trotter 化和 IQPE 来计算准能量的方法，允许以比时域方法更浅的电路深度模拟任意驱动频率的系统。
3. 鲁棒性： 特定的初始态策略，确保了收敛性独立于辅助空间的大小和驱动频率，而这正是以往变分方法的瓶颈。
4. 动态访问能力： 利用固定深度电路访问微运动动力学和随时间周期变化状态的独特能力，这是仅能访问标量（stroboscopic）动力学或需要深层时间演化电路的方法所不具备的。

作者将 Floquet-ADAPT-VQE 定位为研究当前及未来量子硬件上周期性驱动多体系统中非平衡态现象（如时间晶体和光-物质相互作用）的基础工具。