Neural network-enhanced $hr$-adaptive finite element algorithm for parabolic equations

技术摘要：用于抛物型方程的神经网络增强型 $hr$-自适应有限元算法

问题陈述
本文解决了将自适应有限元方法（AFEM）应用于时间相关抛物型方程时所固有的计算挑战，特别是对于表现出移动奇异性或多尺度特征的方程。虽然 $hr$-自适应方法（结合网格细化$h$和节点移动$r$）具有理论优势，但在处理抛物型问题时，其在实际应用中面临三个主要的瓶颈：

1. 低效的细化过程： 传统的 $h$-自适应策略由于采用逐层二分法，通常在每个时间步需要过多的迭代次数（30–40次）才能达到收敛。
2. 插值挑战： 将解从前一个时间步的网格转移到新生成的、非嵌套的网格上，需要复杂的、计算昂贵的点定位算法和插值算子（$\Pi_h^n$）。
3. 冗余初始化： 标准方法会将前一个时间步最终的高度细化网格作为下一个时间步的起点，这导致了自由度（DOF）的膨胀，并需要一个单独且复杂的粗化步骤来降低计算成本。

方法论
作者提出了一种新型的神经网络增强型 $hr$-自适应有限元算法，旨在通过三种集成机制克服上述限制：

1. 基于神经网络的无网格代理（替代插值）：
   该方法不再执行非嵌套网格之间的几何插值，而是利用神经网络（NN）构建前一个时间步有限元解（$u_{h}^{n-1}$）的连续、无网格代理。

   • 该神经网络在之前的网格顶点及其解值上进行训练。
   • 为了严格执行狄利克雷（Dirichlet）边界条件，代理函数构造为 $u_{\theta}^{n-1}(x) = d(x)u_{\theta}(x) + \tilde{g}(x, t_{n-1})$，其中 $d(x)$ 在边界处消失，而 $\tilde{g}(x)$ 用于扩展边界数据。
   • 热启动策略（Warm-Start Strategy）： 神经网络的参数使用前一个时间步收敛后的极小值点进行初始化，因此每个时间步仅需进行简短的微调（少量 epoch），而非重新进行完整训练。
   • 该代理函数取代了全离散格式中的插值算子，允许在任何空间点直接进行函数求值。

2. 受控网格生成（$h$-自适应性）：
   算法利用 Gmmesh 库，根据用户定义的网格尺寸场（SIZE）生成网格。

   • 网格尺寸场根据局部误差估计器计算，旨在高误差区域实现高密度。
   • 与标准二分法不同，这种方法允许生成非嵌套的非结构化网格，从而可以在单步内大幅提升分辨率。

3. 预测性迭代策略（$r$-自适应性与循环控制）：
   算法通过一种预测工作流将每个时间步的自适应循环限制在最多 7 次迭代以内：

   • 第 1–2 次迭代： “启动”阶段，用于稳定解。
   • 第 3–5 次迭代： 数据收集阶段，用于拟合幂律模型（$\eta_h \approx cN^{-p}$），该模型建立了误差估计量与顶点数（NOV）之间的关系。
   • 第 6 次迭代： 拟合的模型预测满足容差所需的 NOV。生成一个匹配该目标的新网格。
   • 第 7 次迭代： 最后的验证步骤，确保达到预设的容差。
   • 组合误差估计器： 误差指示器结合了当前解（$u_h^n$）和前一解的神经网络代理（$u_{\theta}^{n-1}$）的信息，以有效地引导网格生成。

核心贡献

• 消除插值成本： 通过使用无网格神经网络代理取代依赖于网格的插值算子，该方法绕过了在非嵌套网格之间传输数据的算法复杂性和计算开销。
• 大幅减少迭代次数： 预测性网格生成策略将每个时间步的自适应迭代次数从典型的 30–40 次减少到最多 7 次。
• 高效的网格重置： 方法在每个时间步开始时将网格重新初始化为粗糙的均匀状态（而非继承细化后的网格），从而避免了单独的粗化步骤，并防止了不必要的自由度累积。
• 维度无关性： 该框架被设计为与维度无关，通过在 2D 和 3D 中的成功应用证明了其无需改变算法结构的特性。

数值结果
作者通过对 2D 和 3D 中具有移动奇异性（旋转、扩散和分裂）的抛物型方程，以及非线性 Allen–Cahn 方程和 L 型区域问题的广泛数值实验验证了该算法。

• 效率： 所提方法在不超过七次空间自适应迭代的情况下即可达到所需的精度。
• 训练开销： 虽然初始时间步需要较多的训练（例如约 2000 个 epoch），但后续步骤通过利用热启动策略，仅需极少的微调（<100 个 epoch）。
• 性能提升： 与传统的 $h$-自适应方法相比，该方法显著降低了总 CPU 运行时间（例如在 2D 旋转示例中从 818s 降至 132s），并大幅减少了整个模拟过程中的总自由度数量。
• 精度： 该方法成功捕捉了奇异性的动态变化，并在梯度误差方面达到了准最优收敛率。

意义与主张
本文声称，所提出的算法通过解决传统 AFEM 在处理抛物型问题时的根本瓶颈，实现了全面的效率提升。通过将神经网络作为专门的、数据驱动的数据传输和函数表示模块，而非作为独立的求解器，该方法实现了一个稳健且高效的工作流。作者强调，这种方法使节点插入和移动更加便捷，显著减少了重复细化的所需时间，并能在受控的自由度下实现高精度。代码已公开，以促进进一步的研究与应用。