Real subrank of order-three tensors

技术摘要：三阶张量的实子秩 (Real Subrank)

问题陈述
本文研究了实三阶张量的子秩 (subrank)，这是张量秩 (tensor rank) 的一个对偶概念。虽然张量的秩是指将该张量表示为秩为 1 的张量之和所需的最小数量，但子秩 $Q(T)$ 是指可以通过在所有方向上进行线性切片操作，从张量 $T$ 中获得的第 $r$ 个单位张量 $I_r$（代表 $r$ 个独立的标量乘法）的最大整数。

在代数封闭域（如 $\mathbb{C}$）上，子秩的表现是可预测的：存在唯一的泛型子秩 (generic subrank)，且具有特定子秩的张量集合是易于理解的。然而，在实数集 ($\mathbb{R}$) 上，情况更为复杂。与复数情况不同，实子秩可能会针对给定的张量格式呈现出多个“典型值” (typical values)（即在欧几里得拓扑下在非空开集上取得的值）。本文探讨了以下核心问题：

1. 实子秩 $Q(T)$ 如何与复子秩 $Q_C(T)$ 相关联？
2. 特定小型张量格式（例如 $3 \times 3 \times 5$，$4 \times 4 \times 4$）的典型子秩是什么？
3. 与实除法代数（复数、四元数、八元数）中分量乘法相关的张量的子秩是多少？

方法论
作者结合了代数几何、线性代数和拓扑学论证：

• 对偶性与界限： 本文建立了实子秩与复子秩之间的关系。作者利用了复子秩为实子秩提供上界的这一事实（$Q(T) \leq Q_C(T)$），并推导出了关于 $Q_C(T)$ 的 $Q(T)$ 的下界。
• 几何条件： 为了从上方限制子秩，作者使用了一个涉及 Segre 簇 (Segre variety) 的几何条件。具体而言，他们分析了张量切片所张成的射影线性空间与秩为 1 的矩阵簇的交集。如果该交集为空或很小，则子秩会受到限制。
• 半代数集与连续性： 作者利用了张量秩的集合是半代数集 (semialgebraic sets) 这一事实，并借鉴了 Bernardi, Blekherman, 和 Ottaviani (BBO18) 关于张量秩的研究，证明了如果 $r$ 和 $s$ 是典型子秩且 $r < s$，那么它们之间的所有整数也是典型子秩。
• 除法代数的归纳法： 对于除法代数中分量乘法的分析，本文使用了关于代数维数和分量数 ($n$) 的归纳论证，通过分析模去非对角乘积后的线性无关性来进行研究。

主要贡献与结果

1. 实子秩与复子秩的关系
本文证明了对于任何三阶张量 $T$，其实子秩的下界为复子秩的平方根：
$$Q(T) \geq \lfloor \sqrt{Q_C(T)} \rfloor$$
通过 Jeroen Zuiddam 传达的一个构造，证明了该界限在乘法常数意义下是紧致的。此外，对于复子秩达到最大值 ($n$) 的 $n \times n \times n$ 张量，作者证明了一个线性下界：$Q(T) \geq n/2$。

2. 典型子秩与连续性
作者证明了典型子秩是连续的。如果 $r$ 和 $s$ 是满足 $r \leq s$ 的典型子秩，那么满足 $r \leq l \leq s$ 的每个整数 $l$ 也都是一个典型子秩。这与已知的实数张量秩的结果一致。

3. 小型格式典型子秩的分类
本文提供了各种实张量格式 $n_1 \times n_2 \times n_3$ 的典型子秩的详细分类：

• $2 \times 2 \times 2$： 典型子秩为 1 和 2。
• $2 \times m \times n$（其中 $m, n \geq 2$，不同时为 2）： 唯一的典型子秩为 2。
• $3 \times 3 \times 3$ 和 $3 \times 3 \times 4$： 唯一的典型子秩为 2。
• $3 \times 3 \times 5$： 典型子秩为 2 和 3。作者构造了一个特定张量，其子秩为 2，从而证明了泛型子秩 (3) 并非唯一的典型值。
• $3 \times 4 \times 4$ 和 $4 \times 4 \times 4$： 典型子秩为 2 和 3。
  • 特别地，本文指出 四元数乘法张量 ($4 \times 4 \times 4$) 的实子秩为 2。这是通过证明其切片所张成的线性空间不包含（除零以外的）秩为 1 的矩阵来完成的，这意味着其子秩不可能为 3。

4. 除法代数乘法张量的子秩
本文分析了 $D^n$ 中分量乘法相关的张量，其中 $D$ 是维数为 $d_{\mathbb{R}}$ 的实除法代数。

• 复数 ($D=\mathbb{C}$)： 分量乘法映射 $f_n: \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ 的实子秩为 $n$。这意味着在执行 $n$ 次复数乘法的设备中，无法嵌入超过 $n$ 个实标量乘法。
• 四元数 ($D=\mathbb{H}$)： 子秩为 $2n$。
• 一般界限： 对于任何维数 $\geq 2$ 的实除法代数 $D$，分量乘法映射的子秩满足 $Q(f_n) \leq n \cdot \frac{1}{2}\dim_{\mathbb{R}}(D)$。
• 可加性： 子秩对于除法代数与其自身的直和具有可加性 ($Q(f_n) = n \cdot Q(f_1)$)。

重要性与主张
本文声称解决了若干小型但非平凡张量格式的典型子秩问题，揭示了即使在泛型子秩唯一的情况下，也存在多个典型子秩。这与代数封闭域上的行为形成了对比。

作者强调，他们在除法代数方面的结果是非平凡的，因为张量的子秩可能是严格超加性的 (strictly superadditive)，这意味着 $n$ 个分量的结果并不简单地由 $n=1$ 的情况推导而来。关于四元数乘法张量的特定发现——其子秩为 2（而非 $4 \times 4 \times 4$ 的泛型值 3）——突显了除法代数结构所施加的独特代数约束。

最后，本文为代表复数和四元数乘法的张量的“值”（子秩）提供了一个具体的上界，这为通过这些结构模拟多少个独立的实标量乘法设定了限制。作者猜想八元数乘法张量 ($8 \times 8 \times 8$) 的子秩为 3，尽管他们目前仅证明了其上界为 4。