技术摘要：重新构想的无先验贝叶斯 (No-prior Bayes reIMagined)

1. 问题陈述

本文探讨了在缺乏真实先验信息时进行统计推断的基本挑战。在这种情况下，标准的“惯用”策略是客观贝叶斯（或称“无先验贝叶斯”），它通过贝叶斯定理将“默认先验”（例如 Jeffreys 先验、右 Haar 先验）与似然函数相结合。其他方法还包括广义拟贝叶斯推断（generalized fiducial inference）和置信分布。

作者认为，虽然这些构建方式很自然，但它们存在一个关键缺陷：可靠性。当在缺乏真实先验信念的情况下使用默认先验时，由此产生的后验概率缺乏连贯的“更新”解释。更重要的是，虚假置信定理（False Confidence Theorem; Balch et al. 2019; Martin 2019）表明，没有任何此类无先验贝叶斯解具备强可靠性属性。具体而言，这些方法将高概率分配给错误假设，或将低概率分配给正确假设的情况并非罕见。因此，这些后验分布所具有的“信念形成推断权重”是值得怀疑的。

本文认为，这一问题的根源在于坚持使用概率性不确定性量化（加性测度），而此时仅凭数据本身无法支持单一的概率分布。

2. 方法论：“重新构想”（reIMagined）的方法

提议的解决方案——被称为 reIMagined ——将基础框架从概率论转向可能性理论（possibility theory），然后再回归到概率近似。该方法分为三个阶段：

A. 可能性推断模型 (Possibilistic Inferential Models, IMs)

该方法并非从先验开始，而是始于一个可能性推断模型 (IM)。

• 构建： IM 利用相对似然函数 $R(x, \theta)$。为了确保有效性，它应用了一个“有效化”步骤（一种概率到可能性的转换版本）来生成可能性轮廓 $\pi_x(\theta)$：
  $$\pi_x(\theta) = P_\theta \{ R(X, \theta) \leq R(x, \theta) \}$$
• 属性： 该轮廓定义了一个可能性测度 $\Pi_x$。至关重要的是，这种构建保证了有效性：
  $$\sup_{\theta \in T} P_\theta \{ \pi_X(\theta) \leq \alpha \} \leq \alpha$$
  这意味着 IM 只有在极少数情况下才会将小可能性值分配给真实的参数，从而确保相关的置信集 $C_\alpha(x) = \{ \theta : \pi_x(\theta) \geq \alpha \}$ 具有精确的频率覆盖率。其输出是一个连贯的不精确概率（可能性测度），避免了虚假置信现象。

B. 内部概率近似 (Inner Probabilistic Approximation)

意识到许多从业者更倾向于概率性的输出，本文建议从可能性 IM 中提取一个内部概率近似。

• 定义： 目标是找到一个被可能性测度“支配”的概率分布 $Q_x$ ($Q_x \preceq \Pi_x$)，且该分布是“最大程度弥散”的。
• 特征描述（定理 1）： 概率 $Q_x$ 属于 $\Pi_x$ 的信度集（credal set），当且仅当它可以表示为支撑在水平集（置信集）$C_\alpha(x)$ 上的核函数的混合：
  $$Q_x(\cdot) = \int_0^1 K_\alpha^x(\cdot) M_x(d\alpha)$$
  其中 $M_x$ 是 $[0, 1]$ 上的概率测度，$K_\alpha^x$ 支撑在 $C_\alpha(x)$ 上。
• “内部”解： 内部概率近似 $Q_x^*$ 被定义为该信度集中实现覆盖条件等式的成员：
  $$Q_x^* \{ C_\alpha(x) \} = 1 - \alpha \quad \text{对于所有 } \alpha \in [0, 1]$$
  这对应于将边际分布 $M_x$ 取为 $\text{Uniform}(0, 1)$，并将核 $K_\alpha^x$ 取为 $\partial C_\alpha(x)$ 上的均匀分布。
• 采样策略： 可以通过两步程序从 $Q_x^*$ 中抽取样本：
  1. 抽取水平 $\alpha \sim \text{Unif}(0, 1)$。
  2. 从 $C_\alpha(x)$ 的边界上均匀抽取一点 $\theta$。

C. 计算

由于精确的置信集边界通常难以处理，本文采用了计算策略（来自 Martin 2026a），即使用“缝合”的一组高斯可能性测度来近似 IM 轮廓。这涉及寻找一个向量 $\sigma$，使得高斯椭球 $C_\alpha^\sigma(x)$ 能够紧密包围真实的 IM 水平集 $C_\alpha(x)$，从而实现高效的蒙特卡洛采样。

3. 主要贡献与结果

A. 理论属性

1. 与不变模型的契合度（定理 3）： 对于在变换群下具有不变性的统计模型（如位置-尺度族），所提议的内部概率近似与基于右 Haar 先验的标准无先验贝叶斯解一致。这证明了新方法在存在共识的情况下可以恢复“金标准”解。
2. 渐近有效性（定理 4 & 5）： 本文证明了可能性 IM 的一个 Bernstein–von Mises 定理版本。随着样本量 $n \to \infty$，IM 轮廓收敛于高斯可能性轮廓，且内部概率近似收敛于协方差匹配 Cramér–Rao 下界的高斯分布。因此，该方法是渐近有效的。
3. 概率匹配（定理 2）： 使用与可能性轮廓共单调的排序函数（如似然比）构建的置信集具有概率匹配特性，即其贝叶斯置信度等于其频率覆盖率。

B. 边缘化与过度置信

本文研究了对这些分布进行边缘化的风险。

• 风险： 对联合置信分布进行标准的概率性边缘化，往往会导致边缘参数出现过度置信（反向保守区间），尤其是在非线性变换的情况下。
• 解决方案： 本文区分了两种方法：
  1. 基于扩展的边缘化： 先对 IM 进行边缘化（通过扩展原理），然后再进行近似。这保持了有效性。
  2. 概率性边缘化： 直接对内部近似进行边缘化。
• 边界超射性（定理 6）： 本文表明，内部近似的边缘分布是边缘 IM 的内部近似，当且仅当该映射是**边界超射（boundary-surjective）**的。在失效的情况下（例如非线性函数），直接的概率性边缘化可能会导致过度置信。推荐的策略是先在可能性层面（或通过剖面法/profiling）进行边缘化，然后再提取内部近似。

C. 实证说明

1. 贝伦斯–费舍问题 (Behrens–Fisher Problem)： 本文将该方法应用于经典的贝伦斯–费舍问题（在方差不等且未知的情况下，对均值差进行推断）。
   • 结果： 基于剖面似然（profile-likelihood）的边缘 IM 的内部概率近似，产生了一个在覆盖率上是精确的解（不同于 Welch $t$ 检验或 Jeffreys 先验贝叶斯），并且比保守的右 Haar 先验解更有效率（期望区间长度更短）。
2. Gamma 数据与方向性数据： 对 Gamma 模型和方向性数据（von Mises 分布）的说明表明，内部近似在不变情形下与右 Haar 先验贝叶斯解高度吻合，但在非不变或边缘化情形下纠正了过度置信问题。

4. 重要性与主张

本文声称解决了“统计推断中最重要且尚未解决的问题”（Efron 2013）：即在没有先验信息的情况下使用贝叶斯定理。

• 可靠性优先： 核心主张是通过可能性框架优先考虑可靠性（校准），从而避免了所有现有的无先验概率解中固有的虚假置信问题。
• 调和： “reIMagined”方法架起了频率学有效性与类贝叶斯推理之间的桥梁。它提供了一个依赖于数据的概率分布，该分布具有：
  • 精确覆盖属性（通过底层的 IM）。
  • 渐近有效性。
  • 在不变模型中与既定解（右 Haar 先验）一致。
  • 避免了对任意先验设定的需求。
• 实用性： 本文提供了一个计算这些近似值的具体蒙特卡洛算法，使得该理论能够应用于复杂的实际问题，如贝伦斯–费舍问题（在这些问题中，传统解要么过于保守，要么缺乏共识）。

总之，本文认为，通往可靠无先验推断的路径不是寻找一个“更好的”默认先验，而是首先构建一个可能性 IM，然后从中提取一个最大程度弥散的内部概率近似。这产生了一个既在形式上具有概率性，又在频率表现上具有有效性的“后验”。