Duality theory and representations for distributive quasi relation algebras and DInFL-algebras

技术摘要：分配型拟关系代数与 DInFL-代数的对偶性与表示

问题陈述
本文研究了二元关系的代数理论，特别关注了通过削弱经典布尔否定来推广关系代数的结构。由于关系代数依赖于经典补运算，作者研究了分配型拟关系代数 (DqRAs) 和 分配型内含全 Lambek 代数 (DInFL-algebras)。这些结构缺乏用于补运算和逆运算的单个一元运算，而是利用线性否定（$\sim$ 和 $-$）以及 De Morgan 否定（$\neg$）。其核心挑战在于：

1. 为这些代数建立一个稳健的对偶理论，特别是针对完全完美情形，类似于用于有限关系代数的原子结构。
2. 利用拓扑方法将这种对偶性扩展到所有代数（而不局限于完全完美代数）。
3. 确定这些代数作为二元关系格的可表示性，特别是识别哪些有限代数可以嵌入到具体的关系代数中。

方法论
作者采用了一种结合了代数逻辑、序理论和拓扑学的多方面方法：

• 框架构建： 本文定义了 DInFL-框架 和 DqRA-框架。这些是配备了二元集合运算（代表复合）、一个特殊的单位集以及代表线性否定的一元函数的偏序集。对于 DqRAs，还包含了一个额外的一元运算（$\neg$）。这些框架类似于相关逻辑中的 Routley–Meyer 框架，但针对内含 FL-代数进行了调整。
• 完全完美代数的对偶性： 利用完全可并约减元素 ($J_\infty$) 和完全可会约减元素 ($M_\infty$) 的理论，作者构建了完全完美 DInFL-代数/DqRAs 与其相应框架之间的对偶性。他们证明了每个完全完美代数都同构于其可并约减框架的复代数，反之亦然。
• 态射： 文中定义了这些框架的态射，并建立了框架态射与代数完全同态之间的对偶关系。
• Priestley 对偶扩展： 为了处理不一定具有完全性或完美性的代数，作者引入了双点 Priestley 空间。这些是紧致、全序不连通且带有界限（$\bot, \top$）的拓扑空间。其对偶空间利用“广义素滤子”（包括空集和整个代数）来适应无界格。
• 可表示性分析： 作者利用涉及偏序等价关系、序自同构 ($\alpha$) 以及对偶序自同构 ($\beta$) 的构造来定义具体的表示。他们通过以下方式分析有限代数的可表示性：
  • 使用 Prover9/Mace4 计算规模不超过 8 的非同构代数数量。
  • 通过枚举相应的框架来验证这些计数。
  • 研究已知关系代数的 DqRA-子还原 (subreducts)（特别是规模为 16 的 37 个非对称整关系代数）。
  • 应用已知的有限可表示性定理（例如，关于代数无法进行有限表示的条件）。

主要贡献与结果

1. 对偶性：

   • 本文通过各自的框架，为完全完美分配型拟关系代数和完全完美分配型内含 FL-代数提供了完整的对偶性。
   • 通过使用双点 Priestley 空间，将这种对偶性扩展到了所有 DInFL-代数和 DqRAs，有效地实现了向无界结构的推广。
   • 作者定义了这些框架的态射，并证明它们与代数的完全同态是对偶的。

2. 结构性质：

   • 本文阐明了 qRAs 与交换型 InFL-代数之间的关系，表明交换型 InFL-代数即为拟关系代数。
   • 他们证明了恒等式 $\neg \sim a = - \neg a$（在某些定义中曾是显式公理）是由 DqRAs 的标准定义所蕴含的。
   • 他们确立了对称关系代数产生的子还原本身也是关系代数，这意味着非关系代数型的 DqRAs 必然源自非对称关系代数。

3. 枚举与分类：

   • 作者提供了规模至 6（计数至 8）的 DInFL-代数 和 DqRAs 的详细目录。
   • 他们识别了这些代数的对偶框架，将其与特定的偏序结构（如 $1+1+2$, $2 \times 2$, $2 \times 3$）联系起来。
   • 表 1 展示了规模至 4 的所有非平凡代数的框架。

4. 可表示性发现：

   • 本文编录了规模至 6 的有限代数的可表示性状态。
   • 他们指出许多小型代数（例如 $D^3_{1,1}$, $D^4_{1,1}$, $D^4_{1,2}$）没有已知的表示。对于某些代数，已证明如果存在表示，则该表示必须是无限的。
   • 作者分析了规模为 16 的 37 个非对称关系代数的 DqRA-子还原。他们确定其中 20 个子还原是可表示的（源自可表示的关系代数），而其他子还原（如 McKenzie 的不可表示代数 1437 的子还原）的状态仍处于开放状态，或已被证明作为弱化关系代数是不可表示的。
   • 文中指出，最小的非循环 DInFL-代数（7 个元素）具有偏序结构为 $\triangleright \triangleleft$ 的对偶框架，目前尚不知道其表示方法。

意义与主张
本文声称通过对偶性研究分配型拟关系代数和 DInFL-代数，提供了一个基础框架。通过建立这些代数与偏序框架（及其拓扑扩展）之间的联系，作者提供了用于：

• 判定程序： 基于框架的方法促进了这些代数等价理论的判定程序（例如，通过 tableau 方法）。
• 可表示性测试： 对偶性允许通过“基于博弈的方法”和对偶框架的分析来研究可表示性，类似于关系代数中的方法。
• 分类： 对小型代数及其可表示性状态的广泛编录填补了文献中的空白，为未来的研究提供了具体的参考。

作者谦逊地将这项工作描述为之前出版物 [4] 的扩展版本，主要的增补包括引入了用于无界代数的 Priestley 对偶，以及对有限代数可表示性的广泛讨论。他们强调三元素 MV-代数 ($D^3_{1,1}$) 和 McKenzie 代数 1437 的 DqRA-子还原 是目前表示情况仍未知的显著开放问题。文章总结道，寻找这些代数的表示仍然是一个活跃且极具吸引力的研究领域。