A direct imaging method for inverse scattering problem of biharmonic wave with phased and phaseless data

技术摘要：双调和散射反问题的直接成像方法

问题陈述
本文研究双调和散射反问题，旨在利用测量数据确定 $\mathbb{R}^2$ 中扩展障碍物 $D$ 的形状和位置。与通常与二阶微分算子（声学、弹性、电磁）相关的反散射问题不同，本工作聚焦于双调和波动方程，这是一个四阶偏微分方程。研究同时考虑了相位数据（可获得相位信息）和无相位数据（仅测量场的模）。障碍物需满足板理论中的四种边界条件之一：固支、简支、辊支或自由。

方法论
作者提出了一种基于逆时偏移（RTM）技术的直接成像方法。与迭代方法不同，该方法无需对散射体进行先验几何假设，也无需在每次迭代中数值求解正散射问题。

方法论的核心在于为域 $\Omega$ 内的采样点 $z$ 构建特定的成像函数 ($I_j(z)$)。这些函数被设计为根据采样点靠近或远离障碍物边界而表现出不同的特征。

1. 相位数据（IP-1 至 IP-10）：作者定义了十个成像函数，利用各种测量数据组合，包括：

   • 散射场 ($u^{sc}$) 及其法向导数 ($\partial_n u^{sc}$)。
   • 弯矩 ($M u^{sc}$) 和横向力 ($N u^{sc}$)。
   • 远场图案 ($u^\infty$)。
   • 由点源和平面波生成的数据。

   成像函数是利用亥姆霍兹方程的基本解 ($\Phi_\kappa$) 而非双调和波动方程的基本解构建的。该公式旨在降低计算复杂度。这些函数涉及在测量边界 ($\Gamma_r, \Gamma_s$) 或单位圆 ($S$) 上的积分，将测量数据与亥姆霍兹基本解及其导数相结合。

2. 无相位数据（IP-11）：对于仅可获得总场模 $|u|$ 的情况，构建了一个特定的成像函数 $I_{11}(z)$。该函数依赖于总场模的平方与入射场模的平方之差，并除以入射场进行归一化。

理论分析与主要贡献
本文对所提出的成像函数提供了严格的数学分析：

• 分辨率分析：作者证明，对于任意采样点 $z$，成像函数 $I_j(z)$ 可分解为主项和噪声/误差项。主项与辅助解 $\psi(\cdot, z)$ 的远场图案模平方的积分成正比，该辅助解满足由亥姆霍兹基本解虚部导出的边界数据的双调和波动方程。
• 对比机制：分析表明，当采样点 $z$ 靠近障碍物边界时，成像函数表现出高对比度，并随着 $z$ 远离而衰减。这种行为归因于亥姆霍兹方程基本解（贝塞尔函数）虚部的性质，当源点与观测点重合时，该虚部达到峰值。
• 公式的新颖性：一项重要贡献是推导出了仅依赖于亥姆霍兹方程基本解（或声学平面波）而非双调和基本解的成像函数。作者指出，由于微分算子阶数更高，先前针对声学、弹性和电磁波的 RTM 研究无法直接推广到双调和情形。
• 对边界条件的鲁棒性：理论框架被确立为适用于所有四种类型的边界条件（固支、简支、辊支和自由），并针对每种条件推导了特定的渐近行为。

数值结果
本文展示了数值实验以验证理论发现：

• 单障碍物重建：该算法利用所有 11 个成像函数（10 个相位数据，1 个无相位数据）在无噪声情况下成功重建了单位圆。
• 噪声鲁棒性：针对风筝形障碍物的实验证明了该算法对 5% 和 10% 噪声水平的鲁棒性。重建形状保持准确且清晰。
• 多障碍物：该方法被证明即使在存在噪声的情况下，也能有效地同时定位和重建两个不同的障碍物（一个圆形和一个风筝形）。

意义与主张
本文声称，所提出的直接成像方法相较于迭代方法具有两个主要优势：

1. 消除了对散射体进行先验几何假设的需要。
2. 避免了反复求解正散射问题的计算负担。

作者强调，他们的研究是首次将基于 RTM 的直接成像应用于双调和反散射问题，仅使用单一类型的测量数据（从散射场到无相位总场），同时依赖于更简单的亥姆霍兹基本解。分辨率分析证实，该方法为识别障碍物边界提供了清晰的对比度，数值实验验证了其在重建复杂几何形状方面的高效性以及在噪声环境中的稳定性。这项工作将直接成像方法的适用范围从二阶波动方程扩展到了四阶双调和波动方程。