Lipschitz regularity for fully nonlinear elliptic equations with $(p,q)$-growth

技术摘要：具有 (p, q) 增长的完全非线性椭圆方程的 Lipschitz 正则性

问题陈述
本文研究了如下形式完全非线性椭圆方程粘性解的内部和全局 Lipschitz 正则性：
$$F(D^2u, Du, x) = f(x, Du) \quad \text{在 } \Omega \text{ 中},$$
其中算子 $F$ 满足具有 $(p, q)$ 增长的非一致椭圆性条件。具体而言，椭圆性比允许随梯度模长 $|Du|$多项式增长，表现为$1 + |Du|^{q-p}$。作者聚焦于间隙$q-p$ 较小的情形，旨在证明在关于该间隙相对于系数 Hölder 连续性和解的先验正则性的特定约束下，解是 Lipschitz 连续的（$u \in \text{Lip}$）。

本研究解决了当 $|Du|$ 很大时方程变为非一致椭圆性从而可能导致不规则行为这一挑战。证明 Lipschitz 正则性有效地界定了梯度，从而使方程重新回到一致椭圆性区域。该工作考虑了两个主要的结构示例：

1. 双相问题：变分双相泛函 $\int (|Du|^p + a(x)|Du|^q)dx$ 的完全非线性类比。
2. 各向异性 $(p, q)$-增长问题：涉及不同坐标方向具有不同增长率的方程。

方法论
所采用的核心分析工具是Ishii-Lions 方法，这是一种用于推导粘性解梯度界的变量倍增技术。证明策略包含以下关键步骤：

1. 转化为 $(0, \gamma)$-增长：作者首先通过将方程除以 $|Du|^p$，将原始的 $(p, q)$-增长问题转化为 $(0, \gamma)$-增长问题（其中 $\gamma = q-p$）。这简化了结构假设，同时保留了依赖于梯度的基本非一致椭圆性。
2. 缩放论证：为了处理解的范数，应用缩放技术对解进行归一化（例如，假设 $\|u\|_{L^\infty} \leq 1$ 或 $\|u\|_{C^\beta} \leq 1$），同时调整结构常数 $\Lambda$ 和 $C_f$。
3. 内部估计：对于内部正则性，作者利用形式如下的测试函数构造极大值原理论证：
   $$\Phi(x, y) = u(x) - u(y) - L_1 \phi(|x-y|) - \frac{L_2}{2}|x-x_0|^2 - \frac{L_2}{2}|y-x_0|^2.$$
   涉及 $L_2$ 的局部化项对于内部情形至关重要，用于控制两点处的梯度差。证明通过反证法进行，假设极大值为正，并利用 Pucci 算子和结构假设 (A1)-(A4) 分析极大值点处的粘性不等式，从而导出对于大 $L_1$ 和 $L_2$ 的矛盾。
4. 边界和全局估计：对于全局正则性，作者将 Ishii-Lions 方法与障碍构造（遵循 Birindelli 和 Demengel 的方法）相结合。他们在边界附近构造显式的障碍函数，以控制解相对于边界数据 $g \in C^{1,1}$ 的行为。
   • 全局论证中的一个关键区别是缺少内部证明中使用的局部化项（$L_2$ 项）。因此，“梯度差”项（假设 A2）不出现在全局估计中，从而允许在全局定理中放宽结构假设。

主要结果
本文确立了关于 Lipschitz 正则性所需的容许间隙 $q-p$ 的以下主要定理：

• 内部正则性（定理 1.1）：

  • 如果 $u \in L^\infty$（或仅仅是连续的），则当 $q - p < \alpha$ 时，Lipschitz 连续性成立，其中 $\alpha$ 是系数 $x \mapsto F(\cdot, \cdot, x)$ 的 Hölder 指数。
  • 如果 $u \in C^\beta$ 是先验的，则容许间隙改善为：
    $$q - p < \min \left\{ 1 + \frac{\beta}{2(1-\beta)}, \frac{\alpha}{1-\beta} \right\}.$$
  • 作者指出，由于 Ishii-Lions 论证中所需的局部化项，$C^\beta$ 解的内部界比最优变分界略受限制。

• 全局正则性（定理 1.2）：

  • 对于有界 $C^{1,1}$ 区域 $\Omega$ 及边界数据 $g \in C^{1,1}$，如果 $u \in L^\infty$，则条件 $q - p < \alpha$ 即已足够。
  • 如果 $u \in C^\beta$ 是先验的，则全局 Lipschitz 正则性在改进的界下成立：
    $$q - p < \frac{\alpha}{1-\beta}.$$
  • 该全局界与变分双相问题（特别是 [6, 12] 中的那些）已知的尖锐间隙条件相匹配。

意义与主张
作者将其工作定位为将正则性理论从变分（散度型）情形推广到具有 $(p, q)$ 增长的完全非线性（非散度型）方程。

• 与变分理论的比较：结果恢复了变分情形下双相问题已知的尖锐间隙条件（例如，对于 $C^\beta$ 解，$q-p < \alpha/(1-\beta)$）。
• 与乘积型模型的区别：论文强调，其模型 (1.3) 与 De Filippis 研究的乘积型模型 (1.11) 存在根本差异。在乘积型模型中，由于特定的乘积结构允许移除梯度项，$C^{1,\alpha}$ 正则性可以独立于间隙 $q-p$ 实现。相比之下，作者的模型（当 $F \neq G$ 时）不具备此结构，使得关于 $p$ 和 $q$ 的间隙条件对于正则性至关重要。
• 非散度情形的新颖性：作者指出，虽然对于超出最优间隙的散度型方程，不规则反例已广为人知，但目前尚无针对具有 $(p, q)$ 增长的完全非线性非散度方程的类似反例。因此，他们的结果为该类非散度方程提供了首个系统的 Lipschitz 正则性理论，建立了与变分情形类似的必要间隙条件。
• 结构假设：论文阐明，假设 (A2)（$F$ 关于梯度的 Lipschitz 连续性）仅因局部化技术而对内部估计是必要的，但对于全局估计则不需要，这展示了作者对非散度方程中正则性机制的细致理解。