Regularizing effects for an elliptic system of singular equations

技术摘要：椭圆奇异方程组的正则化效应

问题陈述
本文研究了定义在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) 上的一个耦合的双奇异半线性椭圆方程组。该系统由下式给出：
$$\begin{cases} -\text{div}(A(x)Du) + v^{1-\theta}u^{r-1} = \frac{f(x)}{u^\gamma} & \text{in } \Omega \\ -\text{div}(A(x)Dv) = \frac{u^r}{v^\theta} & \text{in } \Omega \\ u, v > 0 \text{ in } \Omega, \quad u=v=0 \text{ on } \partial\Omega \end{cases}$$
其中 $A(x)$ 是对称且一致椭圆的矩阵。参数满足 $r \geq 2$，$\gamma \in (0, 1)$，且 $\theta \in [0, 1)$。数据项 $f$ 是 $L^m(\Omega)$ 中的非负函数。

该系统被称为“双奇异”的，因为两个方程都包含奇异项：第一个方程的反应项具有奇异性（$u^{-\gamma}$），而第二个方程的源项也具有奇异性（$v^{-\theta}$）。这种结构是对薛定谔-麦克斯韦（Schrödinger-Maxwell）系统的建模，但引入了两个分量中的奇异性。主要目标是建立具有有限能量的正解的存在性，并确定数据 $f$ 的可积性（特别是指数 $m$）如何诱导“正则化效应”，从而产生比单奇异椭圆方程理论通常保证的具有更高可积性的解。

方法论
作者采用了一种结合先验估计的逼近方案，通过不动点论证而非变分方法来避免处理。

1. 逼近方案： 通过截断数据 $f$（令 $f_n = \min\{f, n\}$）以及正则化奇异分母（将 $u^\gamma$ 替换为 $(u + 1/n)^\gamma$，将 $v^\theta$ 替换为 $(v + 1/n)^\theta$）来正则化奇异项。这产生了一系列非奇异系统 (10)。
2. 近似解的存在性： 对于每个 $n$，建立了唯一的、有界的正弱解 $(u_n, v_n)$。这是通过在 $H^1_0(\Omega)$ 上定义一个映射并应用 Schauder 不动点定理来实现的。证明依赖于系数冻结后的方程的可分解性以及所得映射的紧致性。
3. 先验估计： 分析的核心在于根据 $f$ 的可积性类别 $m$ 推导序列 $(u_n, v_n)$ 的一致估计。
   • 能量估计： 通过使用 $u_n$ 和 $v_n$ 作为测试函数，作者建立了在 $H^1_0(\Omega)$ 中的有界性。
   • 可积性估计： 使用形式为 $u_n^\delta$ 和 $v_n^\delta$ 的测试函数，作者推导了在 $L^p(\Omega)$ 空间中的界限。这些界限关键性地取决于 $m, \gamma, \theta$ 和 $r$ 之间的关系。
4. 极限过程： 利用先验估计提供的紧致性和定理 3.4（对于梯度序列在有界 Radon 测度下的收敛性），一个子序列收敛到极限 $(u, v)$。作者利用 Fatou 引理、控制收敛定理以及特定的截断技术，仔细处理了奇异项的收敛问题，以证明极限在弱或有限能量意义下满足该系统。

主要贡献与结果
本文针对不同范围的数据可积性 $m$，提供了解 $(u, v) \in H^1_0(\Omega) \times H^1_0(\Omega)$ 的存在性和正则性结果：

• 情况 $m \geq d/2$：

  • 若 $m > d/2$，则解 $u$ 是有界的（$u \in L^\infty(\Omega)$），且 $v$ 也是有界的。
  • 若 $m = d/2$，则 $u$ 属于所有 $L^p(\Omega)$（对于 $p < \infty$），且 $v \in L^\infty(\Omega)$。
  • 这些结果恢复并扩展了已知于单奇异方程和非奇异薛定谔-麦克斯韦系统的有界性定理。

• 情况 $m < d/2$（属于对偶空间的数据）：

  • 当 $f$ 属于第一个方程的对偶空间，即 $(\frac{2^*}{1-\gamma})' \leq m < d/2$ 时，该系统存在有限能量解。
  • 解 $u$ 获得了更高的可积性，具体表现为 $u \in L^{m^{**}(1+\gamma)}(\Omega)$。
  • 当 $r=2$ 时，基于 $m, \theta, \gamma$ 明确刻画了 $v$ 的正则性。在关于维度和参数的特定条件下，确立了 $u$ 在整个区域 $\Omega$ 内的严格正性。

• 情况 $m < d/2$（不属于对偶空间的数据）：

  • 本文的一个重要贡献是处理了不属于第一个方程对偶空间的数据 $f$（即 $m < (\frac{2^*}{1-\gamma})'$）。
  • 定理 2.7： 若 $(\frac{r}{1-\gamma})' \leq m < (\frac{2^*}{1-\gamma})'$ 且 $r > 2^*$，则存在有限能量解且 $u \in L^r(\Omega)$。
  • 定理 2.8： 若 $(\frac{r+1}{1-\gamma})' \leq m < (\frac{2^*}{1-\gamma})'$，$r > 2^*-1$，且 $\theta=0$，则存在解使得 $u \in L^{r+1}(\Omega)$。
  • 意义： 作者指出，对于单奇异方程，通常只有当数据在对偶空间内时才能保证存在有限能量解。而在本系统中，只要 $r$ 足够大，耦合结构允许即使在 $f$ 较不规则的情况下也存在解。

• 高阶可积性（定理 2.10）：

  • 在条件 $(r+\gamma)' \leq m < d/2$ 且 $r \geq \frac{d}{d-2} - \gamma$ 下，解 $u$ 表现出更高的可积性，属于 $L^{r+1+\gamma}(\Omega)$。这展示了一种“正则化效应”，即第一个方程的奇异性结合耦合作用，提高了解的可积性，超越了单方程的标准水平。

意义与主张
本文声称改进了现有的单椭圆方程及非奇异系统的结果。具体而言：

1. 扩展存在性理论： 它为超出第一个方程对偶空间的数据 $f$ 建立了有限能量解的存在性，而在这种情形下，单奇异方程通常无法保证存在此类解。
2. 正则性增益： 它量化了 $f$ 的可积性如何转化为 $u$ 的更高可积性，并为各种 $m$ 的范围提供了显式的指数。
3. 双奇异背景： 它处理了两个方程都具有奇异性的特定挑战，这一领域相比于单奇异方程或仅有一个分量具有奇异性的系统，研究较少。
4. 方法论的严谨性： 该工作提供了一个稳健的框架，利用逼近和先验估计来处理缺乏变分结构以及两个方程中同时存在奇异性的问题，确保了梯度的收敛性和解的正性，而不依赖于可能在所有参数选择下都不成立的强极大值原理。

作者强调，这些结果是通过严谨的先验估计和不动点论证得出的，并未对边界 $\partial\Omega$ 的正则性做出超出有界性的假设，而是依靠 $H^1_0(\Omega)$ 到 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 的等距嵌入。