Björck Sequences: Extension to Arbitrary Lengths, Correlation Analysis, and Applications to Wireless Systems

技术摘要：Björck 序列：扩展至任意长度、相关性分析及其在无线系统中的应用

问题陈述
恒包络零自相关（CAZAC）序列，如 Zadoff–Chu（ZC）序列，是现代无线系统（例如 LTE、5G NR）中用于同步和随机接入的基础。然而，这些序列本质上是为素数长度定义的。实际系统，特别是基于正交频分复用（OFDM）的网络，通常需要非素数长度（例如 12 的倍数）的序列。当前的行业实践采用基于重复的扩展方法，将素数长度序列适配到任意长度。这种方法破坏了底层序列结构，导致循环移位版本之间的正交性丧失，并增加了不同根索引序列之间的零滞后互相关（内积）。此外，现有的 CAZAC 序列解析构造仅限于特定的长度类别，而数值扩展往往缺乏结构保证。这些局限性在非地面网络（NTN），特别是低地球轨道（LEO）系统中尤为突出，其中巨大的传播延迟和多普勒频移会恶化标准 ZC 序列的相关特性，导致虚假峰值和估计误差。

方法论
作者提出了一种通用序列构造框架，利用 Goldbach 猜想将素数长度 CAZAC 序列扩展至任意长度，同时保留关键的相关特性。该方法的核心依赖于Goldbach 猜想：

• 偶数长度（$N$）： 序列长度 $N$ 表示为两个素数之和，$N = Q_1 + Q_2$。构造涉及将一个长度为 $Q_2$ 的素数长度序列附加到一个长度为 $Q_1$ 的素数长度序列之后。
• 奇数长度（$N$）： 长度表示为三个素数之和，$N = Q_1 + Q_2 + Q_3$，遵循类似的级联逻辑。

该框架支持两种主要的扩展模式：

1. 循环移位版本： 扩展基础序列及其循环移位。
2. 不同根索引： 扩展由不同根索引生成的序列（在适用情况下，如 ZC 序列；对于 Björck 序列，则通过循环移位生成不同的序列）。

本文对所得的相关行为提供了严格的解析表征。它推导了周期性和非周期性互相关的内积（零滞后互相关）和**均方根（RMS）**表达式。分析量化了可用序列总数与基于素数对 $(Q_1, Q_2)$ 选择而确定的相互正交序列数量之间的权衡。

主要贡献

1. 通用构造框架： 本文引入了一种统一方法，利用 Goldbach 猜想将素数长度 CAZAC 序列扩展至任意长度。该框架在部分循环移位之间保留了正交性，并维持了不同根索引之间良好的零滞后互相关特性。
2. 相关性分析： 作者解析表征了内积行为，证明：
   • 对于循环移位，如果附加段不重叠，则可以保持完美的正交性，这将正交序列的数量限制为 $\min\{Q_1, Q_2\}$。
   • 对于不同根索引，归一化内积按 $O(1/\sqrt{N})$ 缩放，与素数长度序列类似，无论具体的素数分解如何。
   • 周期性和非周期性互相关的 RMS 按有利方式缩放，保留了 CAZAC 序列典型的 $1/\sqrt{N}$ 行为。
3. Björck 序列的应用： 该框架专门应用于Björck 序列，这是一类以具有有利的模糊函数特性而闻名的 CAZAC 序列。该研究评估了 Björck 序列作为地面网络（TNs）和非地面网络（NTNs）参考信号候选者的表现。
4. 多普勒依赖行为与缓解： 作者识别出 Björck 序列中固有的多普勒依赖行为，其中大的多普勒频移可能导致序列误识别（循环移位之间的模糊性）。提出了两种缓解策略：
   • 在检测之前利用粗略多普勒估计来缩小搜索空间。
   • 选择适当间隔的正交序列子集，以确保频率间隔超过最大多普勒不确定性。

结果

• 抗干扰能力： 在具有重叠信号的地面场景中，所提出的构造显著优于传统的基于重复的扩展。具体而言，具有更大相互正交序列集的配置（例如，对于 $N=120$ 使用素数对 101 和 19），在高干扰（低信干噪比）下实现了更高的检测概率和更低的时间偏移估计误差。
• TN 与 NTN 性能：
  • 在低多普勒 TN 环境中，Björck 序列在时间和频率偏移估计方面的性能与 ZC 序列相当。
  • 在高多普勒 NTN 环境中（例如，多普勒频移高达 45 kHz 的 LEO 卫星），Björck 序列表现出比 ZC 序列更优越的鲁棒性。它们保持了稳定的估计精度，并呈现出具有降低旁瓣的更尖锐的相关峰值，而 ZC 序列则遭受模糊函数失真和虚假峰值的影响。
• 权衡： 研究证实了一个基本权衡：最大化可用序列数量通常意味着需要接受附加段中的一些重叠，从而增加内积。相反，强制执行严格的非重叠条件可以保持完美的正交性，但限制了可用序列的总数。

意义
本文确立了 Björck 序列作为下一代无线系统（特别是高移动性和 NTN 场景）参考信号设计中 ZC 序列的有力替代方案。通过提供一个将此类序列扩展至任意长度的通用框架，该工作解决了实际部署中的关键缺口，即素数长度约束与 OFDM 子载波分配不兼容的问题。对多普勒依赖误识别的识别以及实用缓解策略的提出，进一步增强了 Björck 序列在高多普勒环境中的可行性。总体而言，这项工作实现了具有受控相关特性的任意长度 CAZAC 序列的实际设计，为未来 6G 和 NTN 标准中 ZC 序列的潜在替代提供了可能。