技术摘要：基于机器学习的二次闭式非侵入式降阶模型

问题陈述

降阶模型（ROMs）对于加速计算流体动力学（CFD）模拟至关重要，特别是在需要快速预测的应用中，如设计优化和控制。虽然本征正交分解（POD）是一种标准的线性降阶技术，但在欠分辨率或临界分辨率的工况下，由于保留的模式数量不足以捕捉复杂的系统动力学，它往往会产生不准确的近似。

现有的数据驱动方法通常依赖二次闭式模型来修正这些不准确性，其中二次算子通过最小二乘优化（Quad-LS）进行学习。然而，这些最先进的方法存在两个主要局限性：

1. 过拟合与泛化能力差：最小二乘方法容易过拟合，特别是在训练流形未能反映高保真模型的完整复杂性，或者问题处于病态条件时。
2. 离散化依赖性：传统算子是离散的，意味着它们与用于训练的具体网格绑定。它们无法自然地泛化到不同的空间离散化，也无法提供连续场的修正。

方法论

作者提出了一种新颖的、完全数据驱动的、非侵入式框架，用可学习的连续神经算子取代了静态的最小二乘算子。核心策略是在标准 POD 展开中添加一个二次修正项 $\tau(\hat{x}; \mu)$：
$$u(\hat{x}, \mu) \simeq \sum_{i=1}^r a_i(\mu)\phi_i(\hat{x}) + \tau(\hat{x}; \mu)$$
其中 $\phi_i$ 是 POD 模式，$a_i$ 是降阶系数，$\tau$ 是修正项。

本文介绍了两种特定的神经架构，用于参数化作用于 POD 系数的二次算子：

1. QuadNet（受 DeepONet 启发）：该模型将修正近似为 $\tau(x; \mu) = a^T(\mu)C(\Phi_r, x)a(\mu)$。它利用 Deep Operator Network（DeepONet）架构，包含：

   • 处理 POD 模式（$\Phi_r$）的分支网络。
   • 处理空间坐标（$x$）的主干网络。
   • 第三个子网络，用于组合输出以生成连续的二次算子。
   • 关键特征：该算子在空间上是连续的，允许在任意配置点进行评估，独立于训练网格。

2. QuadNet-$\mu$（受 MIONet 启发）：此模型通过多输入算子网络（MIONet）结构，将问题参数（$\mu$）作为额外输入纳入，从而扩展了 QuadNet。

   • 它包含一个专门用于参数的第二个分支网络。
   • 关键特征：该算子在空间域和参数域上均是连续的，使模型在参数域内具有“局部性”，并对训练期间使用的特定参数实例不敏感。

训练策略：

• 模型被训练以最小化相对误差损失函数，该函数对修正项进行归一化，以处理不同的量级尺度。
• 作者研究了“部分数据”工况，即神经网络在网格节点的子集上进行训练。他们提出了一种类玻尔兹曼概率分布用于采样节点，优先选择修正项较大且变化剧烈的区域，而非均匀随机采样。

主要贡献

1. 神经算子闭式：引入 DeepONet 和 MIONet 架构来学习非侵入式 ROM 的二次闭式项，超越了传统的优化方法。
2. 连续性与泛化能力：开发了在空间坐标和参数空间上均连续的模型。这使得模型独立于域离散化，并能有效地泛化到未见过的参数配置。
3. 高效的数据利用：证明了这些连续模型可以在减少的空间配置点集（部分数据）和较少的参数实例（稀缺数据）上进行训练，同时保持或提高相对于线性和传统二次基线的精度。
4. 参数效率：尽管离线训练成本增加，但在测试的问题中，神经模型使用的参数数量少于基于张量的 Quad-LS 方法。

结果

该方法在两个标准的流体动力学基准测试中进行了验证：后向台阶（稳态，入口速度变化）和顶盖驱动腔（非定常，雷诺数变化）。

• 精度：QuadNet 和 QuadNet-$\mu$ 均显著优于基线 POD-RBF（线性）和最先进的 Quad-LS（二次最小二乘）模型。
  • QuadNet-$\mu$ 实现了最高的精度，在特定测试配置中，与 POD-RBF 相比误差降低了高达90%，与 Quad-LS 相比降低了高达80%。
  • 在后向台阶案例中，改进最为显著，该案例中流动行为在参数范围内变化显著，突显了 QuadNet-$\mu$ 参数局部性的优势。
• 稀缺数据下的鲁棒性：在训练快照极少（例如 $N_\mu < 30$）且 POD 模式数量较高的工况下，Quad-LS 经常失效或表现不如线性基线，原因是过拟合。QuadNet-$\mu$ 保持了更强的鲁棒性，尽管当修正项变得微不足道时（即线性 POD 近似已经非常精确时），其性能也会下降。
• 部分数据：仅在 10% 到 50% 的网格节点上训练 QuadNet-$\mu$，只要采样策略优先考虑高修正区域，其产生的误差就与在全网格上训练的误差相当。这在测试设置中将离线训练时间减少了约 10%。
• 计算成本：虽然神经模型的离线训练时间（8–25 分钟）显著高于 Quad-LS 的近瞬时训练（<10 毫秒），但作者认为，在许多查询的工业应用中，这种成本是可以摊销的，因为单次全阶模拟的成本（例如 3 分钟）远远超过了训练开销。

意义与主张

本文声称，所提出的“修正 ROM"在精度、泛化能力和数据效率之间提供了优于现有二次闭式策略的平衡。通过利用神经算子，作者证明了：

• 可解释性与非线性可以共存：二次结构保持了一定程度的物理可解释性（模式间的相互作用），同时利用了深度学习的非线性近似能力。
• 离散化独立性：学习到的算子的连续性质消除了对特定网格分辨率的依赖，这对于网格细化或变更常见的实际工程应用是一个关键优势。
• 有限数据下的可行性：该方法对于高保真数据稀缺或生成成本高昂的场景特别有价值，因为模型可以从有限的空间和参数样本中学习有效的修正。

作者总结道，尽管离线训练成本较高，但生成的模型为未见过的配置提供了显著更准确的预测，使其成为加速现实世界应用中 CFD 模拟的可行且有效的工具。未来的工作建议探索高阶修正以及与更复杂的基模型（如 POD-NN）的集成。