技术摘要：非局部 Massari 泛函的 $\Gamma$-收敛性及其在非齐次 Allen-Cahn 方程中的应用

1. 问题陈述与背景

本文研究了与给定平均曲率集合相关的非局部变分问题的渐近行为，具体为非局部 Massari 问题，及其与非齐次分数阶 Allen-Cahn 方程的联系。

经典的 Massari 问题由 Massari 在 20 世纪 70 年代提出，为平均曲率 $H \in L^1(\Omega)$ 的集合提供了变分定义，其中 $H$ 是可求和的但不一定连续。该泛函定义为：
$$J^H_\Omega(E) := \text{Per}(E, \Omega) + \frac{1}{\omega_{n-1}} \int_{\Omega \cap E} H \, dx$$
其中 $\text{Per}$ 表示变分周长。

作者将此框架扩展到分数阶情形（参数 $s \in (0,1)$），其中周长被 $s$-周长（一种非局部相互作用项）所取代。非局部 Massari 泛函由下式给出：
$$J^H_{s,\Omega}(E) := \text{Per}_s(E, \Omega) + \frac{1}{1-2s} \int_{\Omega \cap E} H \, dx$$
主要目标是分析当分数阶参数 $s \to (1/2)^-$ 时这些泛函的极限，并研究在质量约束下扰动分数阶 Allen-Cahn 方程解的渐近行为。解决的一个核心挑战是当对非局部相变施加质量约束时，会出现一种新的几何对象，即**“非局部混合平均曲率”**。

2. 方法论

本文采用$\Gamma$-收敛理论（由 De Giorgi 引入）来建立泛函的极限行为及其极小值元的稳定性。方法论包括：

• 重缩放与极限分析：分析当 $s \to (1/2)^-$ 时的非局部 Massari 泛函。作者利用特定的缩放因子 $(1-2s)$ 来恢复经典的 Massari 泛函。
• 扰动能量泛函：引入带有高度振荡强迫项 $g_\varepsilon(x) = g(x/\varepsilon)$ 的“受迫”非局部 Allen-Cahn 能量泛函。能量根据 $s$ 的区间进行重缩放：
  • $s \in (0, 1/2)$：按 $\varepsilon^{-2s}$ 缩放。
  • $s = 1/2$：按 $|\varepsilon \log \varepsilon|^{-1}$ 缩放。
  • $s \in (1/2, 1)$：按 $\varepsilon^{-1}$ 缩放。
• 质量约束：研究在固定质量约束 $\int_\Omega u \, dx = m$ 下的极小化问题。这需要构造满足质量约束且收敛于极限泛函的特定恢复序列，特别是在 $s \in [1/2, 1)$ 区间内，由于缺乏 Dirichlet 边界条件，现有文献（如 [29]）无法直接适用。
• 外部行为分析：推导域 $\Omega$ 外解的行为。与通常假设解在整个全局上为特征函数的经典问题不同，非局部情形下的质量约束迫使外部满足特定的非局部 Neumann 条件，导致 $\Omega$ 外的解不一定分段常数。
• 临界点收敛的细化：调整关于分数阶 Allen-Cahn 方程临界点收敛的结果 [24]。作者细化了这些结果以处理解并非全局 $C^{0,1}$ 正则的情况，这是质量约束的后果。

3. 主要贡献与结果

3.1 非局部 Massari 问题的 $\Gamma$-收敛性

定理 2.3 确立了适当重缩放的非局部 Massari 泛函在 $s \to (1/2)^-$ 时 $\Gamma$-收敛于经典 Massari 泛函。
定理 2.4 证明了极小值元的极限稳定性：如果集合序列 $\{E_j\}$ 是非局部泛函 $J^{H_j}_{s_j, \Omega}$ 的局部极小值元且收敛于 $E$，则 $E$ 是经典泛函 $J^H_\Omega$ 的局部极小值元。此外，序列的能量收敛于极限集合的能量。

3.2 非齐次 Allen-Cahn 方程

本文将 [29] 的 $\Gamma$-收敛结果推广到包含宏观强迫项 $H$ 的情形。
定理 2.7 证明了扰动分数阶 Allen-Cahn 能量泛函 $\Gamma$-收敛于一个涉及（取决于 $s$ 的）非局部（或经典）周长和强迫项的极限泛函。
定理 2.8 确立了该扰动能量极小值元的稳定性。

• 对于 $s \in (0, 1/2)$，极限极小值元满足非局部 Massari 问题，其外部数据由 $\Omega$ 外序列的弱*极限确定。
• 对于 $s \in [1/2, 1)$，极限极小值元对应于具有经典平均曲率 $H/c_\star$ 的集合。

3.3 给定质量问题与非局部混合平均曲率

工作的很大一部分解决了给定质量的 Allen-Cahn 问题。

• 定理 2.10 与 2.11：证明了在质量约束下极小值元的 $\Gamma$-收敛性和一致能量界。对于 $s \in [1/2, 1)$ 的恢复序列构造是一项新颖的贡献，因为它需要扰动标准序列以满足质量条件，同时不违反能量界。
• 定理 2.12：表明质量约束问题的解满足非局部 Neumann 外部条件（方程 2.19）。这意味着 $\Omega$ 外的解由 $\Omega$ 内解的积分平均值决定，且关键在于，$\Omega$ 外的解不是带符号的特征函数（即 $|u| \neq 1$）。
• 定理 2.14 与 2.15：分析与质量约束相关的 Lagrange 乘子的收敛性以及总能量的收敛性。
• 定理 2.18 与 2.20：引入并刻画了非局部混合平均曲率。
  • 定义 2.17：定义了集合对 $(E, g)$ 的非局部混合平均曲率，其中 $E$ 是 $\Omega$ 内的集合，$g$ 是 $\Omega$ 外的函数。
  • 结果：质量约束问题的极限构型由 $\Omega$ 内的集合 $E$ 和 $\Omega$ 外的函数 $u|_{\Omega^c}$ 组成。界面由非局部混合平均曲率的恒定性刻画。
  • 正则性：文章指出，虽然极限解在 $\partial \Omega$ 处是连续的（$C^0$），但通常不是 $C^1$ 的，这与 $s$-极小图（要么不连续，要么 $C^1$）区分开来。

3.4 技术细化

• 附录 A：证明了同时指定 Dirichlet 边界条件和质量约束会导致一个无解的超定问题，从而论证了使用非局部 Neumann 条件的合理性。
• 附录 B：将 $\Gamma$-收敛结果从有界于 1 的函数空间扩展到 $X_M$ 空间（有界于 $M$ 的函数），确保结果适用于主定理中考虑的更广泛函数类。

4. 意义与主张

本文声称提供了具有给定平均曲率和质量约束的非局部相变的严格渐近分析。其意义在于：

1. 连接非局部与经典几何问题：它在 $s \to 1/2$ 时将分数阶 Massari 问题与经典问题形式化地联系起来，保持了极小值元和能量界。
2. 新的几何对象：将**“非局部混合平均曲率”**的识别呈现为一种新颖的几何对象。与收敛于常平均曲率集合的经典质量约束相变不同，非局部情形产生的极限构型由一个对（内部集合，外部函数）定义，具有恒定的混合平均曲率。
3. 处理非局部情形下的质量约束：本文解决了文献中关于 $s \in [1/2, 1)$ 区间内质量约束问题恢复序列构造的空白，在该区间内非局部贡献趋于局部化。
4. 边界行为：它强调了质量约束的非局部界面的独特边界行为（$C^0$ 但非 $C^1$），这与已知的 $s$-极小图结果形成对比。

作者指出，临界点收敛结果的改进（定理 2.18）具有独立的兴趣，因为它放宽了类似语境（如 [24]）中先前要求的全局正则性假设。这项工作被呈现为理解非局部相互作用、质量约束与几何变分问题之间相互作用的基石。