Quantum Simulation of Two-Level $PT$-Symmetric Systems Using Hermitian Hamiltonians

技术摘要：利用厄米哈密顿量对双能级 PT 对称系统进行量子模拟

问题陈述
在基于酉门（unitary-gate-based）的量子计算机上模拟开放量子系统（OQSs）面临着根本性的挑战，因为 OQSs 通常表现出非酉时间传播子，这无法直接映射到当前量子硬件的酉框架中。PT 对称系统是一类特殊的 OQSs，其特征在于具有非厄米哈密顿量，但在其“未破缺”相中，这些系统拥有实数能量谱。虽然这些系统提供了独特的特性（例如与厄米系统相比更快的状态间演化速度），可用于量子传感和纠缠生成，但其非酉动力学使得直接在量子处理器上进行模拟变得复杂。现有的开放量子模拟方法（包括虚时演化和块编码）需要专门针对 PT 对称动力学定制的高效方法，以利用其独特优势。

方法论
作者提出了一种通过利用相似变换将非厄米 PT 对称哈密顿量映射到等效厄米哈密顿量上的方法来模拟 PT 对称动力学。这种映射在哈密顿量为伪厄米的未破缺 PT 对称机制下是有效的。该方法的核心涉及一个相似变换矩阵 $\tau = \sqrt{\eta}$，它将非厄米 PT 对称哈密顿量 ($\hat{H}_{PT}$) 连接到等效的厄米哈密顿量 ($\hat{h}$)。时间演化表示为：
$$e^{-i\hat{H}_{PT}t} = \tau^{-1} e^{-i\hat{h}t} \tau$$
这种形式允许模拟被分解为三个步骤：通过 $\tau$ 进行初始化、通过 $e^{-i\hat{h}t}$ 进行酉演化，以及通过 $\tau^{-1}$ 进行最终变换。

本文引入了两种不同的算法来实现这一框架：

1. 混合经典-量子算法： 该方法在单个量子比特上执行初始化和酉时间演化。最后一步，即应用 $\tau^{-1}$，通过经典后处理完成。这需要通过完整的量子态层析技术来重建密度矩阵，然后在进行 $\tau^{-1}$ 的经典乘法运算之前完成。
2. 扩张算法（Dilation Algorithm）： 为了避免全态层析带来的可扩展性限制，该方法利用辅助量子比特将 $\tau^{-1}$ 实现为扩张酉算符。通过利用 $\tau$ 厄米矩阵的谱分解，该方法将非酉算符嵌入到一个更大的酉空间中。演化以辅助量子比特被测量在 $|0\rangle$ 态为条件。这种方法消除了对全密度矩阵层析的需求。

为了将这些方法扩展到更大的系统，作者应用一阶微扰理论来模拟两个弱相互作用的 PT 对称系统。他们基于耦合系统的微扰本征态构建了一个新的相似变换，从而允许将动力学映射到适用于混合算法的厄米演化上。

关键结果
算法通过在 IBM-Sherbrooke 量子处理器（QPU）和噪声模拟器上的模拟与实验得到了验证：

• 单量子比特动力学： 两种算法都成功重现了接近例外点（exceptional point）的单个 PT 对称系统的基态和激发态布居动力学。实验数据（圆圈）和噪声模型模拟（虚线）与精确经典解（实线）表现出高度一致。
• 双量子比特纠缠： 利用混合算法和微扰理论，作者模拟了两个弱耦合的 PT 对称量子比特。他们成功演示了纠缠的生成，通过并发度（concurrence）进行量化，当基态的布居数变得近似相等时，并发度达到最大值。
• 误差分析： 研究分析了两种算法在不同测量误差下的保真度。
  • 混合算法 被发现对测量误差高度敏感，特别是在快速演化机制中，误差会被经典后处理步骤放大。在高误差率下，保真度显著下降（降至约 20%）。
  • 扩张算法 虽然面临电路体积增加和双量子比特门误差的问题，但表现出对测量误差更强的鲁棒性，在高误差率下保持了较高的保真度（约 70%），优于混合方法。然而，它仍然对双量子比特门固有的相干性限制较为敏感。

意义与主张
本文声称提供了一种在酉门式量子计算机上模拟 PT 对称系统和伪厄米算符的可扩展方法。通过构建等效的厄米哈密顿量，作者证明了非酉 PT 对称动力学可以通过实时间演化而非单个非酉门来模拟。

这项工作强调了：

• PT 对称系统可以在当前的 NISQ（含噪声中等规模量子）设备上通过混合或完全量子（扩张）方法进行模拟。
• 这些方法可以通过微扰理论扩展到弱耦合的多量子比特系统，从而实现对非厄米系统中纠缠生成的探索。
• PT 对称模拟独特的误差特征——特别是快速演化机制中误差的放大效应——反映了这些系统在例外点附近的独特物理行为，表明其在量子传感应用中具有潜在用途。

作者总结道，这项工作为在量子计算机上进一步研究非厄米哈密顿量开辟了道路，为未来旨在增强算法效率和探索这些非厄米系统实际应用的后续工作奠定了基础。