Quantum Simulation of Two-Level $PT$-Symmetric Systems Using Hermitian Hamiltonians

Resumen Técnico: Simulación Cuántica de Sistemas con Simetría PT de Dos Niveles Mediante Hamiltonianos Hermíticos

Planteamiento del Problema
La simulación de sistemas cuánticos abiertos (OQS, por sus siglas en inglés) en computadoras cuánticas basadas en puertas unitarias presenta un desafío fundamental, ya que los OQS suelen exhibir propagadores temporales no unitarios, los cuales no pueden mapearse directamente al marco unitario del hardware cuántico actual. Los sistemas con simetría Paridad-Tiempo (PT) son una clase específica de OQS caracterizados por Hamiltonianos no hermíticos que, en su fase "no rota", poseen espectros de energía reales. Si bien estos sistemas ofrecen propiedades únicas para la detección cuántica y la generación de entrelazamiento —como tiempos de evolución más rápidos entre estados en comparación con los sistemas hermíticos—, su dinámica no unitaria complica la simulación directa en procesadores cuánticos. Los métodos existentes para la simulación de sistemas abiertos, incluyendo la evolución en tiempo imaginario y el codificado por bloques (block encoding), requieren enfoques eficientes diseñados específicamente para la dinámica de simetría PT para aprovechar sus ventajas únicas.

Metodología
Los autores proponen un método para simular la dinámica de simetría PT aprovechando las transformaciones de similitud para mapear Hamiltonianos de simetría PT no hermíticos sobre Hamiltonianos hermíticos equivalentes. Este mapeo es válido en el régimen de simetría PT no roto, donde el Hamiltoniano es pseudo-hermítico. El núcleo del enfoque involucra una matriz de transformación de similitud, $\tau = \sqrt{\eta}$, que conecta el Hamiltoniano de simetría PT no hermítico ($\hat{H}_{PT}$) con un equivalente hermítico ($\hat{h}$). La evolución temporal se expresa como:
$$e^{-i\hat{H}_{PT}t} = \tau^{-1} e^{-i\hat{h}t} \tau$$
Esta formulación permite que la simulación se descomponga en tres pasos: inicialización mediante $\tau$, evolución unitaria mediante $e^{-i\hat{h}t}$, y una transformación final mediante $\tau^{-1}$.

El artículo introduce dos algoritmos distintos para implementar este marco:

1. Algoritmo Híbrido Clásico-Cuántico: Este enfoque realiza la inicialización y la evolución temporal unitaria en un solo qubit. El paso final, la aplicación de $\tau^{-1}$, se gestiona mediante post-procesamiento clásico. Esto requiere una tomografía completa del estado cuántico para reconstruir la matriz de densidad antes de realizar la multiplicación clásica por $\tau^{-1}$.
2. Algoritmo de Dilatación: Para evitar las limitaciones de escalabilidad de la tomografía completa, este método implementa $\tau^{-1}$ como un operador unitario dilatado utilizando un qubit ancila. Al utilizar la descomposición espectral de la matriz hermítica $\tau$, el operador no unitario se incrusta en un espacio unitario más grande. La evolución está condicionada a que el qubit ancila sea medido en el estado $|0\rangle$. Este enfoque elimina la necesidad de una tomografía completa de la matriz de densidad.

Para extender estos métodos a sistemas más grandes, los autores aplican la teoría de perturbaciones de primer orden para simular dos sistemas de simetría PT débilmente interactuantes. Construyen una nueva transformación de similitud basada en los autoestados perturbados del sistema acoplado, lo que permite que la dinámica se mapee en una evolución hermítica adecuada para el algoritmo híbrido.

Resultados Clave
Los algoritmos fueron validados mediante simulaciones y experimentos en la unidad de procesamiento cuántico (QPU) IBM-Sherbrooke y simuladores ruidosos:

• Dinámica de un Qubit: Ambos algoritmos reprodujeron con éxito la dinámica de población de los estados fundamental y excitado de un sistema de simetría PT cerca de un punto excepcional. Los datos experimentales (círculos) y las simulaciones de modelo de ruido (líneas discontinuas) mostraron una fuerte concordancia con las soluciones clásicas exactas (líneas sólidas).
• Entrelazamiento de Dos Qubits: Utilizando el algoritmo híbrido y la teoría de perturbaciones, los autores simularon dos qubits de simetría PT débilmente acoplados. Demostraron con éxito la generación de entrelazamiento, cuantificado por la concurrencia, la cual alcanzó un máximo cuando las poblaciones de los estados base se volvieron aproximadamente iguales.
• Análisis de Errores: El estudio analizó la fidelidad de ambos algoritmos bajo la variación de errores de medición.
  • El algoritmo híbrido resultó ser altamente sensible a los errores de medición, particularmente en el régimen de evolución rápida donde los errores son amplificados por el paso de post-procesamiento clásico. La fidelidad cayó significativamente (a ~20%) ante altas tasas de error.
  • El algoritmo de dilatación, aunque sufre por el aumento en el volumen del circuito y los errores de compuertas de dos qubits, demostró una mayor robustez contra los errores de medición, manteniendo una fidelidad más alta (~70%) ante altas tasas de error en comparación con el enfoque híbrido. Sin embargo, sigue siendo sensible a las limitaciones de coherencia inherentes a las compuertas de dos qubits.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma ofrecer un enfoque escalable para simular sistemas de simetría PT y operadores pseudo-hermíticos en computadoras cuánticas basadas en puertas unitarias. Al construir Hamiltonianos hermíticos equivalentes, los autores demuestran que la dinámica de simetría PT no unitaria puede simularse utilizando evolución en tiempo real en lugar de puertas no unitarias individuales.

El trabajo destaca que:

• Los sistemas de simetría PT pueden simularse en dispositivos NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) actuales utilizando tanto enfoques híbridos como totalmente cuánticos (dilatación).
• Los métodos pueden extenderse a sistemas de múltiples qubits débilmente acoplados mediante la teoría de perturbaciones, permitiendo el estudio de la generación de entrelazamiento en sistemas no hermíticos.
• Las características únicas de error de las simulaciones de simetría PT —específicamente la amplificación de errores en los regímenes de evolución rápida— reflejan el comportamiento físico único de estos sistemas cerca de los puntos excepcionales, sugiriendo una utilidad potencial para aplicaciones de detección cuántica.

Los autores concluyen que este trabajo abre una vía para la investigación futura de Hamiltonianos no hermíticos en computadoras cuánticas, proporcionando una base para trabajos futuros destinados a mejorar la eficiencia algorítmica y explorar las aplicaciones prácticas de estos sistemas no hermíticos.