技术摘要：度量空间中的共形与 kNN 预测不确定性量化算法

1. 问题定义与动机

本文解决了回归模型中预测不确定性量化（Predictive Uncertainty Quantification）的挑战，其中响应变量 $Y$ 存在于一般的可分度量空间 $(\mathcal{Y}, d_1)$ 中，而预测变量 $X$ 位于 $\mathbb{R}^p$ 中。目标是构建一个预测区域 $C_\alpha(x) \subset \mathcal{Y}$，使得在给定 $X=x$ 的条件下，真实响应 $Y$ 落入该区域的概率至少为 $1-\alpha$。

作者指出了现有方法的特定局限性，特别是共形推断（Conformal Inference）：

• 保守性： 标准的共形方法通常会产生过于保守的区间，尤其是在异方差（Heteroscedastic）设置或高维空间中，这导致了统计效率的损失。
• 平滑性假设： 现有的度量空间方法（例如 Zhou 和 Müller [2025]）依赖于核平滑和可微性假设，这对于离散数据或复杂的非欧几里得结构来说过于严格。
• 可扩展性： 全共形方法和深度剖面（Depth-profile）方法对于大规模数据集而言计算成本过高。
• 适用性： 许多方法局限于标量响应或欧几里得预测变量，无法处理数字健康领域常见的“随机对象”，如概率分布或图（Graphs）。

本文旨在开发一个框架，该框架能够提供有限样本边际覆盖保证（在同方差情况下）和局部自适应预测半径（在异方差情况下），且无需施加强平滑假设，同时保持计算上的可扩展性。

2. 方法论

该框架将回归函数 $m(x)$ 定义为条件 Fréchet 平均值：
$$m(x) = \arg\min_{y \in \mathcal{Y}} \mathbb{E}[d_1^2(Y, y) \mid X = x]$$
预测区域被定义为一个度量球 $C_\alpha(x) = B(m(x), r(x))$，其中半径 $r(x)$ 由距离 $d_2(Y, m(x))$ 的条件分位数决定。作者区分了两种度量：$d_1$（用于损失/回归）和 $d_2$（用于定义预测区域），从而实现了建模的灵活性。

该方法论分为三个主要部分：

2.1 同方差情况：拆分共形预测（Split Conformal Prediction）

作者引入了度量空间中的同方差性概念：距离 $d_2(Y, m(x))$ 的分布与 $x$ 无关。

• 算法： 使用拆分共形方法。将数据分为训练集（$D_{train}$）用于估计中心 $\hat{m}(x)$，以及校准集（$D_{test}$）用于估计全局半径。
• 半径估计： 半径由校准得分 $\{d_2(Y_i, \hat{m}(X_i))\}_{i \in D_{test}}$ 的经验分位数设定。
• 保证： 这提供了有限样本边际覆盖保证：$P(Y \in \hat{C}_\alpha(X)) \geq 1-\alpha$。
• 收敛性： 作者证明了在温和条件下（具体要求仅为 Fréchet 平均估计量的一致性）的一致性和快速收敛率。

2.2 异方差情况：局部 kNN 程序

对于误差的条件分布依赖于 $x$ 的设置（异方差性），全局半径是低效的。

• 算法： 提出了一个 k-最近邻（kNN） 方法。对于一个新的点 $x$，预测半径仅通过使用 $x$ 的 $k$ 个最近邻范围内的校准点进行估计。
• 数据驱动的 $k$ 值选择： 引入了一个新颖的标准来选择邻域大小 $k$。它平衡了全局经验覆盖（确保整体覆盖率接近 $1-\alpha$）和局部经验覆盖（确保局部偏差最小化）。算法选择满足这些约束的最小 $k$ 值。
• 保证： 虽然该方法不提供有限样本的共形保证，但作者建立了渐近一致性，并推导了期望误差的有限样本上界。该方法避免了平滑假设，并能适应预测空间的局部几何结构。

2.3 时间序列的序列扩展

在平稳性和遍历性假设下，该框架被扩展到度量空间值的序列。

• 方法： 使用**最近邻专家聚合（Nearest-neighbor expert aggregation）**方法。通过将历史滞后块与当前状态进行比较，以估计条件残差分位数。
• 聚合： 使用基于 pinball 损失的指数权重组合局部分位数专家，以生成数据自适应的半径。
• 保证： 该方法提供的是渐近时间平均校准保证（$\frac{1}{n}\sum P(Y_{t+1} \in \hat{C}_t) \to 1-\alpha$），而非有限样本保证。

3. 核心贡献

1. 新颖的同方差性定义： 为度量空间量身定制了同方差性的定义，从而能够构建具有快速收敛率的高效共形算法。
2. 三种算法框架：
   • 用于同方差度量空间的拆分共形算法，具有有限样本边际保证。
   • 用于异方差设置的局部 kNN 算法，在无需平滑假设的情况下实现良好的条件校准。
   • 用于度量空间时间序列的序列专家聚合方法。
3. 理论一致性： 在极小条件下证明了所提估计量的一致性（其条件比欧几里得文献中要求的更弱）。
4. 计算效率： 所提方法具有计算可扩展性，能够在数秒内处理数百万条观测值，这与需要数小时处理较小数据集的深度剖面方法形成鲜明对比。
5. 灵活性： 该框架兼容任何回归算法（如随机森林、全局 Fréchet 回归、kNN），并能处理非欧几里得响应（分布、图）和预测变量。

4. 结果

4.1 模拟研究

作者在标量对标量回归以及度量空间值结果的情境下评估了该框架。

• 性能： 在异方差设置（线性与非线性）中，所提出的自适应 kNN 方法与 CQR 及 Zhou 和 Müller [2025] 的深度剖面法相比，实现了最低的集成平方条件误差（ISCE）和最高的最差切片覆盖率（WSC）。
• 同方差设置： 全局共形方法表现出竞争力的性能，证实了在同方差假设成立时其有效性。
• 效率： 所提方法显著快于深度剖面法（对于 $n=3000$ 的情况，为数秒对比 50 分钟）。
• 鲁棒性： 尽管不是完全经过共形校准，但异方差方法仍保持了良好的边际校准，尽管注意到在最差切片覆盖率方面的样本量稳定性是一个局限性。

4.2 实际应用

该框架应用于两个生物医学数据集：

1. 形状分析（帕金森病）： 手写轨迹被视为随机对象。该方法为健康对照组构建了以 Fréchet 为中心的参考区域。帕金森病患者的轨迹经常落在这些区域之外，说明了基于形状的数字生物标志物的潜力。
2. 分布值血糖监测： 连续血糖监测（CGM）数据被表示为 2-Wasserstein 空间中的概率分布。利用全局 Fréchet 回归和 kNN 半径估计器，作者构建了年龄特异性的预测区域。结果显示，预测区域（变异性）随年龄增长而扩大，捕捉到了标量摘要无法体现的分布变化。

5. 重要性与主张

本文声称提供了一个通用、灵活且计算高效的度量空间不确定性量化框架。其重要性在于：

• 弥合差距： 它将共形预测和局部校准技术扩展到非欧几里得设置，且不依赖于现有度量空间方法中那些限制性的平滑假设。
• 实际效用： 处理复杂随机对象（分布、图）的能力以及快速计算特性，使该框架适用于现代数字健康和个性化医疗应用。
• 理论严谨性： 它在极小假设下建立了一致性和收敛率，为仅基于渐近性质的方法提供了强有力的替代方案。
• 适应性： 数据驱动的邻域大小选择允许该方法适应局部异方差性，从而在全局方法失效的地方改进条件校准。

作者也谦虚地指出，虽然该方法在同方差情况下提供了强大的边际保证，并在异方差情况下实现了良好的条件校准，但使用度量球对于高度非球形分布可能过于保守。建议未来的工作探索超越度量球的更灵活的预测区域。