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Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Networks for multi-material elasticity problems in electronic packaging

本文提出了一种物理信息驱动的 Kolmogorov-Arnold 网络框架，该框架利用可训练的 B 样条激活函数，通过单个网络即可精确且高效地解决电子封装中的多材料弹性问题，从而消除了传统方法中所需的复杂领域分解和界面约束。

原作者： Yanpeng Gong, Yida He, Yue Mei, Xiaoying Zhuang, Fei Qin, Timon Rabczuk

发布于 2026-02-06

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原作者： Yanpeng Gong, Yida He, Yue Mei, Xiaoying Zhuang, Fei Qin, Timon Rabczuk

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

大局观：解决“拼图问题”

想象一下，你正试图预测一个复杂的电子封装（比如手机内部的芯片）在受到挤压时会如何弯曲或拉伸。这些封装由多种粘合在一起的不同材料组成——就像铜、陶瓷和玻璃层一样。

过去，计算机科学家使用一种称为有限元法 (FEM) 的方法来解决这个问题。把 FEM 想象成通过将图片切割成成千上万个微小的、刚性的正方形（即网格）来解开拼图。如果材料发生突变（例如从柔软的铜变为坚硬的陶瓷），拼图块必须沿着边界进行非常精确的切割，否则图像就会发生畸变。这种方法很精确，但速度慢，且需要大量的人工工作来确保切割正确。

随后，一种名为物理信息神经网络 (PINNs) 的新方法出现了。与其将图片切成方块，PINNs 使用一个“智能猜测者”（神经网络）来直接学习弯曲的形状。然而，标准的智能猜测者（称为 MLP）就像是“平滑的画家”；它们难以绘制锐利的线条或突然的变化。当两种材料相遇时，应力往往会发生突跳。平滑的画家会模糊这条线，从而导致误差。为了解决这个问题，以往的方法必须将区域划分为不同的部分，并强制两个区域在边界处达成一致，这就像雇佣了两个不同的画家，并不断对着他们大喊大叫，要求他们在接缝处匹配彼此的笔触。

新方案：“变形”网络

本文介绍了一种名为 PIKAN（物理信息 Kolmogorov-Arnold 网络）的新工具。

1. 新型艺术家：KAN
作者用一种 Kolmogorov-Arnold 网络 (KAN) 取代了标准的“平滑画家”神经网络。

类比： 想象标准的神经网络是一把僵硬的尺子；它试图通过直线段或平滑曲线来连接点。而 KAN 则像是一把由微小、可调节的分段（称为 B-样条）组成的灵活、可变形的尺子。
为什么重要： 因为这些分段可以局部改变形状，所以 KAN 能够自然地绘制出锐利的转角或突然的跳跃，而无需被告知停止并开始新的绘画。它能自动处理不同材料交界处的“粗糙边缘”，而无需将问题切割成独立的碎片。

2. 策略：深度能量法 (Deep Energy Method)
论文使用了一种特定的教学方式，称为深度能量法 (DEM)。

类比： 想象你正在试图寻找迷雾谷底的最低点（即解）。与其尝试为每一个点求解复杂的方程，不如让网络尝试最小化系统的总“能量”。
优势： 作者发现，通过构建一个能够自动遵循边缘规则（例如保持梁的左侧不动）的网络，他们不需要添加额外的“惩罚”规则来进行训练。这就像是建造一个自然延伸到地面的滑梯，而不是建造一个悬在空中的滑梯，然后祈祷孩子们不会掉下去。

他们测试了什么

研究人员在几种场景下测试了这种新型“变形”网络：

弯曲梁： 他们模拟了由两种或三种不同材料组成的梁，具有直线、波浪形或阶梯状的界面。
板中的孔洞： 他们测试了一个中间带有孔洞、由两种不同材料组成的板。
现实世界电子产品： 他们将其应用于 DBC 基板（用于功率电子器件的、夹在铜层之间的陶瓷层）以及 TGV 结构（用于先进封装的、带有铜柱的玻璃）。

结果：更平滑、更快、更准确

当他们将 PIKA 与旧方法（如“两个画家的做法”）进行比较时：

准确性： PIKAN 能够以更高的精度预测材料如何弯曲以及应力最高的位置。它不会被材料之间的锐利边界所迷惑。
简洁性： 无论内部有多少种材料，他们只需要一个单一的网络即可解决整个问题。旧方法则需要多个网络并依靠复杂的规则让它们相互配合。
效率： 为了达到相同或更好的效果，新方法所需的“参数”（网络的内部设置）更少。

核心结论

本文表明，通过使用一种天生擅长处理剧烈变化的全新神经网络 (KAN)，结合基于能量的学习策略，我们可以更轻松、更准确地模拟复杂的、多材料的电子封装。它消除了对复杂的“区域分解”（将问题切块）的需求，并让计算机能够自主处理材料边界的物理特性。

注：局限性——论文明确指出，虽然这在 2D 示例（平面切片）中表现出色，但将其扩展到完整的 3D 物体仍是一个未来的挑战，需要更多的研究。他们还提到，关于 KAN 为何如此有效的理论数学背景仍处于探索阶段。

技术摘要：用于电子封装多材料弹性问题的物理信息 Kolmogorov-Arnold 网络

问题陈述
电子封装结构由具有不同机械性能的异质材料组成，形成了以锐利界面和材料属性不连续性为特征的复杂多材料系统。传统的数值方法（如有限元法 FEM）在模拟此类复杂几何形状时，面临着网格畸变、局部场分辨率以及计算效率方面的挑战。虽然物理信息神经网络（PINNs）提供了一种无网格的替代方案，但使用多层感知器（MLP）的标准实现难以处理多材料问题。传统的 PINN 方法通常需要领域分解（将定义域划分为每个材料的子域），并引入通过惩罚项实现的界面连续性约束。这需要大量的超参数调优，并且在处理复杂界面几何形状时经常导致收敛问题。此外，MLP 可能会受到谱偏差的影响，限制其捕捉多材料解中固有的高频特征和剧烈变化的能力。

方法论
本文提出了一种集成深度能量法（DEM）的物理信息 Kolmogorov-Arnold 网络（PIKAN）框架，用于解决无需领域分解的多材料弹性问题。

深度能量法 (DEM)： 该方法不是求解控制偏微分方程（PDEs）的强形式，而是最小化总势能泛函。损失函数构建为内应变能与外势能之差。这种变分方法降低了对导数阶数的要求，并且在弹性问题中通常具有更高的精度和效率。
容许位移场： 为了严格满足本质边界条件而不使用惩罚项，位移场构建为 $u_{pred}(x) = P(x) + D(x) \odot F(x; \theta)$ ，其中 $P(x)$ 满足边界值， $D(x)$ 是到边界的距离函数， $F(x; \theta)$ 是神经网络输出。这确保了通过构造即可满足边界条件。
Kolmogorov-Arnold 网络 (KANs)： 核心创新在于使用 KANs 取代传统的 MLPs。与在节点处使用固定激活函数并在边上学习权重的 MLP 不同，KANs 在边上放置了可学习的一元激活函数（以 B-样条参数化）。
- 处理不连续性： B-样条基函数具有局部支撑和分段特性。这使得单个 KAN 能够自然地逼近跨越材料界面的应力及应变梯度的不连续性，而无需为不同材料设置单独的网络或显式的界面连续性约束。
- 架构： 该网络采用可训练的 B-样条系数、缩放因子和可选的线性权重。输入坐标经过归一化以符合 B-样条定义域，中间层输出使用 $\tanh$ 函数进行约束以保持稳定性。
数值积分： 研究评估了多种数值积分方案（三角形、辛普森、梯形、蒙特卡洛和 Delaunay）来近似损失函数中的能量积分。研究表明，积分方案的选择会显著影响解的精度，尤其是在高应力梯度区域。

主要贡献

面向多材料的 PIKAN 框架： 开发了一种将 KANs 集成到深度能量法中的 PIKAN 方法，利用 B-样条固有的分段逼近能力来自然地适应材料属性的不连续性。
消除领域分解： 证明了单个 KAN 即可逼近整个多材料定义域内的位移场，从而消除了对子域划分以及相关的界面连续性惩罚项和超参数调优的需求。
全面验证： 对具有直线、波浪形和阶梯形界面的悬臂梁、带有中心孔的异质板以及电子封装结构（DBC 基板和 TGV-Cu 结构）进行了广泛的数值实验。
系统性分析： 对数值积分方案和超参数的敏感性进行了详细调查，并提供了用于复现性的实现细节和源代码。

结果

精度与鲁棒性： 在所有测试的多材料配置下，PIKAN 展示了与 FEM 参考解的高度一致性。它成功捕捉了界面附近的复杂位移场和应力集中，即使在弹性模量差异极大（例如跨越两个数量级）的情况下也是如此。
与领域分解的比较： 与使用领域分解和独立 MLP 的保守能量神经网络（CENN）相比，PIKAN 表现出更高的精度。CENN 在处理复杂几何形状（波浪形和阶梯形界面）时，由于通过惩罚项强制执行连续性的挑战，在界面处出现了明显的位移不连续和应力振荡。
积分方案敏感性： 三角积分通常提供了最快的收敛速度和最高的精度。Delaunay 积分表现出较弱的收敛性和较高的误差，特别是在处理曲线界面时，这凸显了变分 PINN 中积分方案的关键作用。
参数效率： 与基于 MLP 的 CENN 方法相比，PIKAN 以更少的训练参数实现了高精度。例如，在悬臂梁示例中，PIKANS 使用了约 1,050 个参数，而 CENN 使用了超过 3,500 个参数。
电子封装应用： 该方法已成功应用于分析 DBC 基板的翘曲以及包括界面粗糙度和双通孔配置在内的 TGV 结构的应力分布，证实了其在实际应用中的效用。

意义与主张
本文声称，与传统的领域分解方法相比，PIKAN 为多材料固体力学问题提供了一种更简洁且鲁棒的解决方案范式。通过在能量框架内利用 KANs 的分段逼近能力，该方法通过消除复杂的界面约束处理和超参数调优，简化了计算框架。作者认为，这种方法特别适用于多材料界面无处不在的电子封装分析领域。

研究承认，虽然 KANs 的理论收敛性仍是一个活跃的研究前沿，但在这些弹性问题中的经验表现是令人期待的。作者指出，目前的工作局限于 2D 示例，将该方法扩展到 3D 结构面临着计算可扩展性以及标准 KANs 在表示 3D 物理定律（E(3) 变换）方面理论局限性的挑战。建议未来的工作探索混合 MLP-KAN 架构以及严谨的数学收敛证明。研究结论认为，PIKAN 代表了将物理信息深度学习应用于异质材料问题的一个重要进步，为更高效、更准确的电子封装可靠性分析提供了路径。

大局观：解决“拼图问题”

新方案：“变形”网络

他们测试了什么

结果：更平滑、更快、更准确

核心结论

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