Generalization of the viscous stress tensor to the case of non-small gradients of hydrodynamic velocity: a path to numerical modeling of turbulence non-locality

本文将查普曼 - 恩斯科格方法推广，导出了适用于大速度梯度的粘性应力张量的积分表示，从而使得数值模拟湍流非局域性以及切向间断等标准纳维 - 斯托克斯方程难以捕捉的现象成为可能。

要点

以下是用通俗语言和创造性类比对该论文的解读。

核心难题：“冰沙”与“风暴”

想象一下，你试图预测流体（如水或空气）的运动方式。一个多世纪以来，科学家们一直使用一套著名的规则，即纳维 - 斯托克斯方程。这些规则依赖于一种特定的成分，称为粘性应力张量。

可以将这个张量想象成一个“摩擦力计算器”。在标准版本中，它假设如果你推动流体，它所感受到的阻力（摩擦力）仅取决于你观察点紧邻处流体的运动速度。这就像假设当你搅拌一杯咖啡时，你感受到的阻力仅由接触你勺子的咖啡分子决定。

缺陷：
作者 A.B. Kukushkin 指出，当情况变得混乱时，这种标准的“摩擦力计算器”就会失效，例如在湍流风暴中，或者当两股流体以高速相互滑过时（切向不连续）。

• 类比： 想象一群人在走廊里行走。标准模型假设每个人只与紧邻的人发生碰撞。但在真实的人群（湍流）中，一个人可能会被身后三排的人推挤，或者一股运动波可能会传遍整个房间。标准模型忽略了这些“远距离”相互作用。
• 悖论： 标准数学还导致了一个奇怪的结果：它表明如果粒子碰撞更频繁（如在浓雾中），流体实际上应该流动得更顺畅（粘度更低）。这违背了我们的直觉。

解决方案：纵观全局

Kukushkin 提出了一种计算这种摩擦的新方法。他的新公式不再仅仅关注紧邻的邻域，而是着眼于流体运动的完整历史和位置。

新方法：

1. 摒弃“小步走”规则： 旧的数学方法（Chapman-Enskog 方法）仅在流体变化非常缓慢且平滑时才有效。Kukushkin 摒弃了这一规则。他允许速度发生突然、剧烈的变化，而这正是真实湍流中发生的情况。
2. “信使”类比： 与其只观察某一点的流体，不如想象流体中充满了微小的“信使”（涡旋或扰动）。
   • 在旧模型中，信使只与邻居交谈。
   • 在 Kukushkin 的新模型中，信使在一个地点诞生，飞过整个房间，在停止之前将信息传递给远处的另一个地点。
3. 积分公式： 新数学是一个积分（对大面积的求和）。它通过累加流体中所有其他地方的信使传播到该点的影响，来计算特定点的应力（摩擦力）。

为何这很重要

1. 解决“悖论”：
通过允许这些信使进行长距离旅行，新公式解决了关于粘度的奇怪悖论。它解释了为什么即使粒子频繁碰撞，流体仍会表现出其行为。信使的“长途飞行”以一种旧“小步走”模型无法做到的方式解释了阻力。

2. 与现实世界的混乱相联系（理查德森定律）：
论文提到了一项著名的观察结果，称为理查德森 $t^3$ 定律。

• 类比： 如果你将两片叶子扔进湍急的河流中，标准模型预测它们会缓慢分开（像 $t^2$ 那样）。但实际上，它们飞散的速度要快得多（像 $t^3$ 那样）。
• 联系： 这种新的“远距离”模型自然地解释了为什么粒子分离得如此之快。信使快速且远距离地旅行，将扰动携带穿过流体，这与湍流扩散的真实世界观察结果相符。

3. 通往更好计算机模拟的桥梁：
目前，湍流的计算机模拟通常不得不使用“作弊”或虚构的数字，因为标准数学在尖锐边缘（例如机翼与空气分离处）会失效。

• Kukushkin 的新公式提供了一座数学桥梁。它将“作弊”转化为基于第一性原理的严格计算。它允许计算机通过累加这些远距离相互作用来模拟湍流，而不仅仅是猜测。

一句话总结

该论文认为，旧的计算流体摩擦的方式就像试图通过只听站在你旁边的人说话来理解一场对话。它忽略了大局。

Kukushkin 编写了一本新规则书，倾听整个房间的声音。通过考虑扰动如何穿过整个流体传播（非局域性），这种新数学：

• 修正了关于流体应该多厚或多薄的逻辑悖论。
• 解释了为什么风暴中的粒子会如此迅速地飞散。
• 为计算机模拟复杂、混乱的流动（如飞机周围的风或管道中的水）提供了一条更准确的路径，而无需依赖猜测。

作者指出，同样的逻辑最终可能应用于热传递甚至等离子体物理，但这里的核心成就是重写流体摩擦的规则，以应对湍流“混乱”的现实。

技术摘要

技术摘要：非小梯度下粘性应力张量的推广

问题陈述
本文探讨了标准纳维 - 斯托克斯（Navier-Stokes）流体动力学湍流描述中的基本局限性，特别是关于粘性应力张量（$\sigma_{ik}$）的问题。通过查普曼 - 恩斯科格（Chapman-Enskog）方法从玻尔兹曼方程推导出的传统张量，依赖于流体动力学速度梯度较小的假设。作者认为，这一假设使得标准张量无法描述复杂的流动现象，如切向不连续性、分离流以及湍流固有的非局部性。

此外，文章指出了标准推导中的一个理论悖论：动力粘度系数（$\eta$）被发现与粒子碰撞截面（$\sigma_{coll}$）成反比，这与直觉预期相反。作者将此悖论归因于查普曼 - 恩斯科格方法中限制性的“小梯度”条件，该条件仅在碰撞截面增大时才变得日益可行，从而掩盖了长寿命局部涡旋的行为。

现有的湍流模型（例如 Spalart-Allmaras、RANS）通常诉诸于现象学修正或局部微分方程，这些方法未能捕捉湍流的非局部本质，而理查森（Richardson）关于湍流介质中成对相关性的 $t^3$ 定律在经验上证实了这一点。虽然已提出非局部输运模型（如莱维飞行/行走），但它们往往缺乏流体气体动力学内基于第一性原理的严格推导。

方法论
作者通过在查普曼 - 恩斯科格框架内放宽小速度梯度条件，提出了粘性应力张量的推广。方法论步骤如下：

1. 动力学基础：推导始于单组分气体的玻尔兹曼动力学方程。分布函数 $f(\mathbf{p}, \mathbf{r}, t)$ 被分解为局部热力学平衡部分（麦克斯韦分布 $f^{(0)}$）和修正项 $\varphi$。
2. 梯度约束的放宽：与忽略修正项空间导数的标准方法不同，作者在输运方程的左侧保留了 $\varphi$ 的导数。这承认了在剪切流和局部涡旋中，修正项的梯度可能显著大于平滑平衡分布的梯度。
3. 输运方程构建：使用简化的碰撞积分（BGK 型），导出了关于 $\varphi$ 的动力学输运方程。该方程包含一个依赖于平均质量速度梯度的源项，以及一个代表载体吸收（逆自由程）的汇项。
4. 积分解：通过假设载体运动远快于整体介质运动来求解输运方程。$\varphi$ 的解表示为从介质边界到观测点的载体轨迹上的积分，并包含基于自由程长度的指数衰减因子。
5. 应力张量的推导：通过对相空间积分修正项、平衡分布和动量通量的乘积来计算粘性应力张量。通过将轨迹积分转换为介质上的体积分，作者推导出了应力张量的非局部积分表示。

主要贡献与结果
主要结果是推导出了一个广义粘性应力张量 $\sigma_{ik}$，它是空间坐标的积分，而非局部微分算子。

• 非局部表示：$\sigma_{ik}$ 的新表达式（公式 2.13）明确依赖于介质内所有点的速度梯度，其权重由涉及点间距离和自由程长度的核函数决定。这种结构类似于非局部输运理论，例如用于共振辐射传输的比别尔曼 - 霍尔斯坦（Biberman-Holstein）模型。
• 标准理论的恢复：在路径长度较小（即梯度较小）的极限下，积分表达式简化为标准的局部粘性应力张量（公式 1.2），其中粘度系数 $\eta = P\tau$。这确保了在适当范围内与既定理论的一致性。
• 悖论的解决：广义形式解决了粘度对碰撞截面的反依赖关系。作者认为，悖论产生的原因是标准推导假设了小梯度，而这一条件与作为湍流中扰动载体的长寿命局部涡旋不相容。
• 守恒定律：推导表明，对分布函数的修正保持了介质中粒子总数的守恒，代表了主介质与扰动载体系综之间的动态交换。

意义与主张
本文声称，这项工作构成了从第一性原理推导流体动力学湍流非局部理论的一步。

• 不连续性的建模：广义张量提供了一个数学算子，能够描述速度导数无界的切向不连续性和分离流，解决了数值建模中长期存在的空白。
• 与理查森定律的联系：推导出的张量的非局部结构被视为数值模拟湍流非局部性的必要基础，特别是为了重现经验性的理查森成对相关性 $t^3$ 定律。
• 科莫戈罗夫方法的验证：作者建议，这种推广可能解释了科莫戈罗夫（Kolmogorov）量纲分析在预测湍流现象方面的成功，尽管这些结果历史上很难直接从标准纳维 - 斯托克斯方程推导出来。
• 更广泛的适用性：该方法被认为可能适用于气体和液体中的热传递，以及等离子体等更复杂的介质，为非局部输运现象提供了一种统一的方法。

文章结论指出，虽然推导出的表达式是一项重要的理论进展，但要充分证明其重现理查森定律的能力，还需要后续充分的数值模拟。