DE-Sinc approximation for unilateral rapidly decreasing functions and its computational error bound

技术摘要：单侧快速递减函数的 DE-Sinc 近似

问题陈述
Sinc 近似法对于在实轴两端快速衰减的函数非常有效。然而，对于单侧快速递减函数（定义为在 $t \to -\infty$ 时呈代数级衰减，在 $t \to \infty$ 时呈指数级衰减的函数），标准的变量变换仅能产生 $O(\exp(-c\sqrt{n}))$ 阶的根指数收敛（root-exponential convergence）。虽然针对此类函数已存在改进的单指数（SE）变换，但它们无法克服这一渐近限制。此外，尽管双指数（DE）变换已成功应用于其他情形（有限区间、对称衰减等）以实现接近指数级的收敛，但针对单侧快速递减函数（Stenger 分类中的第 5 类情况）的 DE-Sinc 近似的严谨且可计算的误差界限此前尚未建立。

方法论
本文提出了一种基于特定双指数变量变换的 DE-Sinc 近似：
$$t = \phi_5(x) = 2 \sinh(\log(\log(1 + e^{\pi \sinh x})))$$
该变换此前曾被引入数值积分领域，但在此处被改编用于函数近似。该方法包括：

1. 变换： 将原函数 $f(t)$ 映射为定义在实轴上的变换函数 $F(x) = f(\phi_5(x))$。
2. 近似： 对 $F(x)$ 应用标准的 Sinc 级数展开，并将结果映射回 $t$ 域。
3. 误差分析： 将总误差分解为离散误差和截断误差。
   • 离散误差通过使用 $F$ 在条带区域 $D_d$ 内的 Hardy 空间 $H_1(D_d)$ 中的范数来界定。
   • 截断误差通过分析 $F(x)$ 在 $\pm \infty$ 处的衰减特性来界定。
4. 技术挑战： 由于 $\phi_5$ 的嵌套对数结构、其在复平面内的分支结构以及实轴两端的非对称衰减行为，证明过程需要新的估计。作者推导了变换函数在条带区域上行为的显式不等式，以严谨地界定常数。

核心贡献

• 新定理（定理 2.3）： 本文为单侧快速递减函数的 DE-Sinc 近似建立了严谨的误差界限。该界限的形式为：
  $$\sup_{t \in \mathbb{R}} |f(t) - \text{Approx}(t)| \leq C e^{-\pi d n / \log(2dn/\mu)}$$
  其中 $n$ 是采样点数，$d$ 是条带宽度，$\mu$ 与衰减率相关。
• 显式常数： 不同于以往可能依赖于不可计算常数的理论结果，本文提供了以问题参数（$K_+, K_-, \alpha, \beta, d$）显式表示的常数 $C$ 的公式。这使得该误差界限具有可计算性，适用于需要保证精度的算法。
• 收敛阶： 该方法实现了 $O(\exp(-cn/\log n))$ 阶的近似指数收敛（almost exponential convergence）。相比之下，现有 SE-Sinc 方法处理此类函数时仅能达到 $O(\exp(-c\sqrt{n}))$ 阶的根指数收敛，这是一个显著的提升。
• 样本复杂度： 为了达到精度 $\epsilon$，所提出的 DE-Sinc 方法需要 $n = O(\log(1/\epsilon) \log \log(1/\epsilon))$ 个采样点，而 SE-Sinc 近似则需要 $n = O((\log(1/\epsilon))^2)$ 个采样点。

结果
作者通过使用三个特定的单侧快速递减函数（$f_1, f_2, f_3$）的数值示例验证了理论发现：

• 对于满足新定理解析性假设的函数 $f_1$ 和 $f_2$，观察到的误差在 DE-Sinc 近似（定理 2.3）下的收敛速度明显快于 SE-Sinc 近似（定理 2.1 和 2.2）。
• 这些函数的观察误差均落在推导出的理论误差界限内，证实了常数 $C$ 和收敛阶的有效性。
• 对于不满足新定理严格解析性假设的函数 $f_3$，DE-Sinc 近似表现仍具竞争力，尽管它并未表现出特征性的近似指数收敛，且理论误差界限并不适用。

意义
本文声称，这项工作通过为单侧快速递减函数提供首个可计算的误差界限，填补了 Sinc 数值方法的一个关键空白。其主要意义在于实现了针对此类特定问题的具有保证精度的计算。通过建立近似指数收敛，该方法大幅降低了实现高精度所需的计算成本（采样点数），相比现有的单指数方法具有显著优势。作者指出，由于 Sinc 近似是数值积分和配点法的基础组成部分，这些结果可为未来涉及单侧衰减的微分方程和积分方程的保证精度算法提供分析基础。