Computing matrix functions associated with a Hermitian--definite pencil

问题陈述
本文探讨了量 $\phi(A, B) := Af(A^{-1}B)$ 的数值评估问题，其中 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是 Hermitian 正定矩阵，$B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是 Hermitian 矩阵，且 $f$ 是定义在 $A^{-1}B$ 谱上的函数。该问题出现在 Hermitian–定矩阵束 $B - \lambda A$ 的背景下，对于计算各种矩阵均值（例如算术、调和、几何均值）以及求解常微分方程组至关重要。作者聚焦于问题 P1：计算中等规模矩阵的完整矩阵 $\phi(A, B)$。一个关键挑战是避免显式形成 $A^{-1}B$（这可能导致数值不稳定），同时在保持数值稳定性的前提下最小化计算成本。

方法论与算法
作者分析了该问题的条件数，并提出了几种利用矩阵束谱特性的算法。他们利用等价关系 $\phi(A, B) = A^{1/2}f(A^{-1/2}BA^{-1/2})A^{1/2}$ 将问题转化为评估 Hermitian 矩阵的函数。该研究比较了五种具体的实现方案：

1. 朴素法（Naive）： 显式计算 $A^{-1}B$ 并应用 $f$。
2. Sqrt Schur（算法 1）： 计算矩阵平方根 $A^{1/2}$，形成 $A^{-1/2}BA^{-1/2}$，执行 Schur 分解，将 $f$ 应用于特征值，并重构结果。
3. Schur Schur（算法 2）： 使用两次 Schur 分解（一次针对 $A$，一次针对变换后的矩阵），而不显式计算矩阵平方根。
4. Chol Schur（算法 3）： 用 Cholesky 分解 $A = R^*R$ 替代矩阵平方根和求逆。它计算 $R^{-1}BR^{-*}$，执行 Schur 分解，并重构结果。
5. Chol Schur PD（算法 4）： 算法 3 的扩展，适用于 $B$ 也是正定矩阵的情况，利用 $A$ 和 $B$ 的 Cholesky 分解。

作者提供了浮点运算下基于平方根的方法（算法 1）和基于 Cholesky 的方法（算法 3）的详细舍入误差分析。他们推导了前向误差的显式界限，将总误差分解为扰动误差（源于初始分解）和后续步骤中累积的舍入误差。

主要贡献与结果

• 条件数分析： 作者推导了 $\phi(A, B)$ 的 Fréchet 导数的显式表达式，并建立了其条件数的界限。这些界限取决于 $A$ 和 $B$ 的条件数，以及函数 $f$ 及其对偶的差商。
• 计算复杂度： 提供了理论上的浮点运算次数（flop counts）。算法 1（Sqrt Schur）需要约 $27n^3$ 次浮点运算。算法 3（Chol Schur）将其减少至约 $13n^3$ 次浮点运算（经进一步优化后为 $(12 + 2/3)n^3$），通过避免昂贵的矩阵平方根计算，有效地将计算成本减半。
• 误差分析： 舍入误差分析表明，算法 3 的误差界限在理论上优于算法 1。具体而言，算法 1 中的扰动误差随 $n^3$ 缩放（源于矩阵平方根），而在算法 3 中，它随 $n$ 线性缩放（源于 Cholesky 分解）。此外，分析表明，与算法 1 相比，算法 3 的误差对 $A$ 的条件数敏感度较低。
• 数值实验： 在随机正定矩阵上进行的实验证实了理论预测。
  • 精度： 基于 Cholesky 的算法（算法 3 和 4）表现出显著更高的精度，特别是在 $A$ 病态的情况下。与基于平方根的方法和朴素方法相比，它们的前向误差随 $A$ 的条件数增长更为平缓。
  • 性能： 算法 3 和 4 速度最快，比朴素方法快 1–2 个数量级，比基于平方根的方法快出显著幅度。
  • 比较： "Chol Schur"和"Chol Schur PD"变体表现出几乎相同的性能和精度，表明算法 4 中对 $B$ 的额外 Cholesky 分解仅提供了微小的理论改进，但在实际中与算法 3 相当。

意义与主张
本文主张，对于计算 $\phi(A, B)$，基于 Cholesky 分解的算法比基于矩阵平方根的算法更精确且更高效。作者断言，他们的数值实验证实了理论分析，表明基于 Cholesky 的方法在计算成本和数值稳定性之间取得了更好的平衡。他们得出结论：对于中等规模的矩阵，Cholesky–Schur 方法（算法 3）是首选方法。本文明确指出，它不涉及大型稀疏矩阵（问题 P2）的情况，因为在这种情况下生成的稠密矩阵无法存储，并指出此类情况需要不同的技术（如 Krylov 子空间方法），这留待未来工作研究。