Kolmogorov and Wasserstein Distances between Max-Stable Distributions

技术摘要：最大稳定分布之间的 Kolmogorov 与 Wasserstein 距离

问题陈述
本文解决了量化两个具有单位-$\alpha$-Fréchet 边缘的 $d$ 维最大稳定分布函数 $F_1$ 与 $F_2$ 之间距离的基础问题。这一问题对于逼近理论和极值统计建模都至关重要。作者试图推导出这些分布律之间 Kolmogorov 距离 ($d_K$) 以及在有限矩存在情况下的 Wasserstein 距离 ($W_p$) 的显式比较界限。这些界限是以其底层的谱表示或参数化表示来表达的，特别关注 de Haan 表示器、角度测度（angular measures）以及稳定尾部依赖函数（stable tail dependence functions）。

方法论
分析依赖于最大稳定律的谱表示及其指数函数的齐次性。核心方法论包含三种截然不同的途径：

1. 简化为齐次横截面（Reduction to Homogeneous Cross-Sections）： 将 Kolmogorov 距离简化为在齐次横截面（具体为 $\min_j x_j = 1$ 的集合）上指数函数 $V_k(x) = -\log F_k(x)$ 的一致比较。作者利用一个通过 $\sup |e^{-q} - e^{-(1+t)q}|$ 定义的标量函数 $\omega(t)$，基于指数函数之间的差异来界定分布之间的距离。
2. 耦合与传输成本（Coupling and Transport Costs）：
   • 对于 Kolmogorov 界限，作者将分布之间的距离与幂次 de Haan 表示器 $(Z^{(k)})^\alpha$ 之间的 Wasserstein 距离以及其角度测度 $H_k$ 之间的全变差距离联系起来。
   • 对于最大稳定律本身的 Wasserstein 界限，论文采用了同步 de Haan–LePage 耦合。这涉及对底层的 de Haan 表示器 $Z^{(k)}$ 进行耦合，并利用 LePage 级数表示的性质来界定由此产生的最大稳定律之间的传输成本。
3. Inf–Argmax 分解： 指数函数通过极大值-权重映射 $\Psi_j(x)$ 进行分解，使得距离界限可以直接用特定参数族中的模型参数来表达。

主要贡献与结果

• 通过表示器与角度测度的 Kolmogorov 界限：
  论文建立了一个结论，即 Kolmogorov 距离受限于函数 $\omega$ 作用于两个量之最小值的形式：即两个幂次 de Haan 表示器之间的 Wasserstein 距离与两个角度测度之间的全变差距离。
  $$d_K(F_1, F_2) \leq \omega(W_\alpha \wedge M_\infty \|H_1 - H_2\|_{TV}) \leq \frac{1}{e}(W_\alpha \wedge M_\infty \|H_1 - H_2\|_{TV})$$
  一个重要的技术贡献是系数 $M_\infty = \sup_{s \in S} \|s\|_\infty^\alpha$。当使用正 $\ell_\alpha$-球面（其中 $\sum s_j^\alpha = 1$）时，$M_\infty = 1$。因此，对于该框架中使用的未归一化角度测度，乘在集合角度全变差距离前的系数不包含显式的维度因子，这与之前包含维度相关常数的结论形成对比。

• 通过同步耦合的 Wasserstein 界限：
  对于 $1 \leq p < \alpha$，论文推导了最大稳定律之间的 $p$-Wasserstein 距离，其形式取决于其未幂次 de Haan 表示器之间的 $\alpha$-Wasserstein 传输成本：
  $$W_{p, \|\cdot\|_\infty}(F_1, F_2) \leq \Gamma\left(1 - \frac{p}{\alpha}\right)^{1/p} W_{\alpha, \infty}(F_1, F_2)$$
  该结果通过利用一种传输原始表示器而非其幂次版本的同步耦合机制，对现有界限进行了补充。

• 固定 Copula 与变化的 Fréchet 指数：
  作者分析了极端值 Copula（以及由此产生的稳定尾部依赖函数）固定但 Fréchet 指数 $\alpha$ 变化的情况。

  • 他们提供了仅取决于一维 Fréchet 比较的两侧 Kolmogorov 界限。
  • 他们推导出了当 $p=1$ 且 $\alpha_1, \alpha_2 > 1$ 时 $\ell_1$-Wasserstein 距离的精确公式：
    $$W_{1, \|\cdot\|_1}(F_{\alpha_1}, F_{\alpha_2}) = d \int_0^\infty |t^{-1/\alpha_1} - t^{-1/\alpha_2}| e^{-t} dt$$
    这表明在固定 Copula 的设定下，Wasserstein 距离完全受边缘变换控制。

• 对特定模型的应用：
  通用界限被专门应用于：

  • Archimax 与集群 Archimax Copulas： 界限根据生成器 $\psi$ 和稳定尾部依赖函数的差异进行推导。
  • Brown–Resnick 与 Hüsler–Reiss 模型： 论文提供了基于底层高斯过程协方差矩阵的显式界限。特别地，对于 Hüsler–Reiss 模型，Kolmogorov 距离由源自变谱参数（variogram parameters）的 $\Psi$-函数之间的差异来界定，提供了一种表示不变的比较。

意义与主张
该论文声称提供了一个统一的框架来比较最大稳定分布，通过使用 $\ell_\alpha$-球面，该框架避免了角度测度中显式的维度因子。通过将 Kolmogorov 距离与表示器的 Wasserstein 距离及角度测度的全变差联系起来，这项工作提供了一种用于推导 Kolmogorov 估计的“共同机制”。通过推导变化 Fréchet 指数下的 $\ell_1$-Wasserstein 精确公式，以及对集群 Archimax copulas 和 Hüsler–Reiss 等复杂结构的扩展应用，该研究扩展了这些界限在实际极值理论参数族中的效用。研究结果以内在界限的形式呈现，有助于在不依赖于临时性的维度相关常数的情况下，比较具有不同稳定性指数和角度结构的分布律。