Effective surjectivity of Galois representations of products of elliptic curves over function fields

技术摘要：函数域上椭圆曲线乘积的伽罗瓦表示的有效全射性

问题陈述
本文研究了函数域上椭圆曲线乘积的伽罗瓦表示的有效全射性问题。具体而言，设 $K$ 是亏格为 $g$ 的光滑、射影、几何连通曲线 $C$ 在完美域 $k$ 上的函数域。对于 $n$ 个椭圆曲线的乘积 $A = E_1 \times \dots \times E_n$（定义在 $K$ 上），作者研究了模 $\ell$ 伽罗瓦表示的像：
$$\rho_{A,\ell}: G_K \to \text{GL}(E_1[\ell] \times \dots \times E_n[\ell]) \simeq \text{GL}_2(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^n$$
目标是建立一个仅依赖于亏格 $g$ 的显式常数 $c(g)$，使得对于所有素数 $\ell > c(g)$，该表示的像尽可能大。在函数域的语境下，“尽可能大”是指几何伽罗瓦群 $\Psi_\ell(A) := \text{Image}(\rho_{A,\ell}) \cap \text{SL}_2(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^n$ 等于全群 $\text{SL}_2(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^n$。

以往的工作已在单椭圆曲线（Igusa, Cojocaru–Hall）以及数域上的乘积（Serre, Masser–Wüstholz）情形下建立了此类结果。然而，对于函数域上的椭圆曲线乘积，尤其是一个提供不依赖于特定曲线的统一界限的有效结果，目前仍是缺失的。

方法论
作者将最初为数域开发的 Masser–Wüstholz 技术应用于函数域环境。证明策略依赖于三大支柱：

1. 归约为同源次数界限： 遵循 Masser–Wüstholz 的方法，伽罗瓦表示的全射性与由特定因子构造的扭转乘积之间是否存在某些同源映射相关联。如果像不是最大的，则意味着在由这些因子构造的特定阿贝尔曲面之间存在非平凡同源。通过限制此类同源的次数，作者得以在足够大的 $\ell$ 时排除这种情况。

2. 引导同源界限（Bootstrapping Isogeny Bounds）： 本文推导出了一个关于椭圆曲线乘积之间双可分同源（biseparable isogenies）的新次数界限（推论 4.5）。这是通过以下方式实现的：

   • 利用 Griffon–Pazuki [GP22] 建立的关于函数域上单椭圆曲线同源的最新次数界限；
   • 分析各因子在最小次数同源下的像的交集；
   • 应用 Frey–Mazur 猜想 的函数域类似形式（定理 3.1），该猜想由 Bakker–Tsimerman [BT16] 证明，用以界定挠点交集的大小。这一步要求常数域 $k$ 嵌入到曲线 $C$ 中（或者更广泛地说，依赖于 Frey–Mazur 界限的具体形式）。

3. 代数群理论： 证明采用了 Masser–Wüstholz 的引理（引理 5.2），这是 Serre 结果的一个推广，用于分析 $\text{GL}_2$ 群乘积的子群。该引理刻画了如果伽罗瓦像不是全乘积时的结构，即说明全射性的失效意味着各因子 $\ell$-挠点之间存在特定的同构关系（可能是经过扭转的）。

主要贡献与结果

• 主定理 (Theorem 1.1 / Theorem 5.3)： 作者证明，对于 $n \ge 2$ 个两两互不同源且非平凡（non-isotrivial）的椭圆曲线 $E_1, \dots, E_n$（定义在 $K$ 上），存在一个仅取决于亏格 $g$（而不依赖于单个曲线或维度 $n$）的常数 $c(g)$，使得：
  $$\Psi_\ell(E_1 \times \dots \times E_n) = \text{SL}_2(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^n$$
  对于所有素数 $\ell > c(g)$ 成立。显式界限为：
  $$c(g) = 40353607 \cdot N(g)^3 \cdot \max\{1, g^{9/2}\}$$
  其中 $N(g)$ 是来自 Bakker–Tsimerman 定理的常数。

• 同源次数界限 (Corollary 4.5)： 一个重要的中间结果是给出了双可分同源 $\phi: E_1 \times E_2 \to X$（其中 $X$ 是一个阿贝尔曲面）的显式上界。该界限为：
  $$\deg(\phi_0) \le 49^3 \cdot N(g)^2 \cdot \max\{1, g^3\}$$
  该结果是通过结合 Griffon–Pazuki 的模曲线点界限与 Frey–Mazur 类似形式推导而出的。

• 对前人工作的扩展： 本文扩展了 Igusa 关于单曲线的全射性定理以及 Cojocaru–Hall 的有效版本，将其推广到维度 $n > 1$ 的阿贝尔簇。同时，它也将 Masser–Wüstholz 关于数域的有效全射性结果扩展到了函数域。

意义与主张
本文声称提供了首次扩展，将椭圆曲线乘积的有效全射性结果从单变量情况扩展到了函数域中维度大于 1 的阿贝尔簇。

• 统一性： 该结果的一个显著特征是常数 $c(g)$ 的统一性。与以往数域结果中界限依赖于曲线高度和数域次数不同，此处的界限仅取决于基曲线的亏格。
• 显式性： 作者强调该界限是有效可计算的，仅取决于使 Bakker–Tsimerman 定理中的常数 $N(g)$ 显式化。他们指出，虽然 Bakker–Tsimerman 的方法表明实现这种显式化是可能的，但本文并未计算该值。
• 适用范围： 结果适用于非平凡（non-isotrivial）且两两不同源的椭圆曲线。作者澄清，非平凡性条件（$j(E_i) \notin k$）对于确保曲线不具有额外的自同态以及满足底层同源界限的假设是必要的。

文章最后指出，虽然常数 $c(g)$ 关于 $N(g)$ 是显式的，但 $N(g)$ 的具体数值仍然是主要的非显式组成部分。这项工作依赖于 Frey–Mazur 猜想的函数域类似形式，作者建议，若要将结果推广到更一般的常数域，则需要针对这些特定域的 Bakker–Tsimerman 定理版本。