Excitation of control-affine systems and Koopman error bounds

技术摘要：控制仿射系统的激发与 Koopman 误差界限

问题阐述
本文研究了利用 Koopman 算子框架（具体通过扩展动态模态分解，EDMD）从数据中识别控制仿射动力学系统的挑战。虽然像 EDMD 这样的数据驱动方法在建模复杂系统方面非常强大，但将它们扩展到控制仿射系统（这会产生双线性代理模型）时，会引入显著的数据需求。本文识别出的核心问题是，系统识别过程的准确性和鲁棒性高度依赖于输入数据的质量。具体而言，这些模型的近似误差界限与输入数据矩阵的最小奇异值 ($\sigma_{\min}$) 成反比。如果输入数据不够“激发”（即输入分布不佳或具有相关性），$\sigma_{\min}$ 会变得很小，从而导致误差界限增大以及控制性能不可靠。本文旨在建立输入选择的准则，以最大化该奇异值，从而确保鲁棒的识别和可靠的控制应用中的误差界限。

方法论
作者开发了一个以估计控制仿射映射 $y = g_0(x) + G(x)u$ 的回归问题为核心的框架。该方法论通过以下几个分析步骤进行：

1. 误差界限分析： 论文首先建立并证明，估计系统参数（$g_0$ 和 $G$）的误差受限于扰动量与 $\sigma_{\min}(V)$ 的比值，其中 $V$ 是由全 1 行和输入向量组成的数据矩阵。
2. 最优性条件： 作者推导了最大化 $\sigma_{\min}(V)$ 的充分必要条件。
   • 一个必要条件是输入向量之和必须为零（$U\mathbf{1} = 0$）。
   • 在此条件下，通过对输入进行适当缩放，可以使矩阵达到最小奇异值的理论上限。
   • 确定了特定的最优配置：正交输入（推论 3.3）和构成正则单纯形顶点的输入（命题 3.5）。
3. 子空间角与顺序采集： 考虑到实际应用通常涉及顺序数据采集，而非先验设计所有输入，作者引入了一种基于子空间角的几何方法。他们推导了基于新输入向量与现有输入所张成的子空间之间的角度的 $\sigma_{\min}(V)$ 的下界。这引出了一种策略：给定一组随机输入，选择一个特定的额外输入（或替换现有的输入）来最大化子空间角，从而最大化最小奇异值。
4. 与 Koopman 框架的集成： 这些理论结果被应用于两种特定的 EDMD 变体：
   • 带控制的双线性 EDMD (EDMDc)： 该框架允许灵活采样，数据不需要收集在特定的、预定义的控制值（如单位向量）下，而是可以从通用的数据簇中推断出来。
   • 核 EDMD： 作者将现有的基于核的方法的误差界限扩展到控制仿射设置中，提供了统一的误差界限，从而严格验证了数据驱动模型预测控制 (MPC) 所需的假设。

主要贡献

• 拟合框架： 一个用于拟合控制仿射映射的新颖框架，该框架明确地将输入选择与识别问题的鲁棒性裕度联系起来。
• 最优性条件： 推导了用于最大化数据矩阵最小奇异值的输入最优性的充分必要条件，包括正交输入和基于单纯形的输入的显式构造。
• 顺序数据的几何准则： 提供了一个使用子空间角的实用指南，用于确定如何选择额外的输入，以在顺序或在线学习场景中改善条件数。
• 统一误差界限： 推导了在存在控制仿射结构的情况下，双线性 EDMDc 和核 EDMD 的统一误差界限。这些界限取决于状态空间的填充距离（fill distance）和输入数据的条件数。
• 灵活采样： 一种从通用、灵活的数据集合中构建人工数据点（例如，对单位向量输入的响应）的方法，消除了严格的采样要求。

结果
论文通过两个应用场景验证了所提方法：

1. 自由浮动刚体（6D 输入）： 研究比较了四种激发策略：随机输入、正交输入、单纯形顶点以及基于子空间角的策略。结果显示，虽然随机输入的 $\sigma_{\min}$ 显著较低且近似误差较高，但所提策略（尤其是基于子空间角的策略）达到了接近理论最大值的 $\sigma_{\min}$，从而大幅降低了向量场近似误差。
2. 非完整移动机器人（2D 输入）： 该框架应用于使用双线性 EDMDc 的移动机器人。结果表明，即使使用极少量的样本，使用所提激发策略也能获得与随机采样相比具有显著更低单步预测误差的 Koopman 代理模型。研究还显示，增加随机输入的数量可以减轻误差，但几何引导的选择能以更少的样本实现高精度。

意义
论文声称其贡献对于在安全关键系统中可靠应用数据驱动控制具有重要意义。通过提供显式的、具有几何解释性的输入选择条件，这项工作弥合了理论系统识别与实际数据采集之间的鸿断。推导出的误差界限对于闭环属性（如模型预测控制中的渐近稳定性）的形式化验证至关重要。此外，灵活采样的能力使得在无法进行特定、预定义控制输入采集的场景下识别控制仿射系统成为可能，这使得该方法适用于机器人学和车辆动力学等现实工程问题。