Generalised Symmetries and Manifest Duality I: Flat Spacetime

技术摘要：广义对称性与显性对偶性 I：平坦时空

1. 问题陈述
本文探讨了构建一个局部、多项式且具有显性洛伦兹不变性的对偶对称规范理论作用量时，长期存在的困难，特别是涉及自对偶场强的理论。标准的类似麦克斯韦的作用量在这一背景下会失效，因为它们本质上偏向于电或磁描述之一，从而破坏了对偶对称性，或者需要非局部表述并引入狄拉克弦（Dirac strings）。虽然 Sen 的形式体系 [1, 2] 成功提供了一个对于自对偶场具有显性洛伦兹不变性的局部作用量，但它依赖于将通量（fluxes）视为基本的动力学变量而非规范势。这种基于通量的做法带来了显著挑战：

• 它缺乏使用标准电流进行最小耦合的直观处方。
• 它掩盖了如 Witten 效应等经典结果的推导过程。
• 它需要一个“影子”扇区（额外场），该扇区与物理哈密顿量解耦，但却使与动力学引力的相互作用表述变得复杂。
• 它需要在动量空间中通过非局部场重定义来证明影子扇区的解耦。

2. 研究方法
作者提出了一种新的作用量，通过重新引入规范势来推广 Sen 的形式体系，同时保持显性的对偶性和洛伦兹不变性。其方法包括：

• 场内容： 引入一对规范势（在一般维度下为 $A$ 及其对偶 $\check{A}$，或在自对偶情况下为单个势）以及“影子”场（$B$ 和 $\check{B}$）和自对偶通量变量（$\Sigma$）。
• 新对称性： 定义了一种新的高阶形式规范对称性，称为 h-规范对称性，它作用于势和通量变量。这种对称性确保了物理自由度严格对应于一个自对偶场强，从而消除了任何传播的反自对偶模。
• 规范固定： 证明该作用量可以通过两种不同的方式进行规范固定：
  1. 将势部分固定为零，即可恢复 Sen 最初基于通量的作用量。
  2. 将通量类变量（$\Sigma$）固定为零，则得到基于势的作用量。
• 哈密顿分析： 进行严格的 Dirac 约束分析，以证明即使在存在相互作用的情况下，影子扇区在哈密顿层面上也完全与物理扇区解耦。
• 调和对称性： 在规范固定的基于势的作用量中识别出一种残余的全局对称性（调和高阶形式对称性），该对称性唯一地确定了场强的定义应为自对偶组合（$F = dA + \star dA$），而非标准的曲率。

3. 主要贡献与结果

• 一种用于对偶对称理论的新作用量： 作者提出了一个局部、多项式且显性洛伦兹不变的作用量 $S[B, A, \Sigma, \phi]$。它将自对偶通量 $F$ 处理为势 $A$ 与通量变量 $\Sigma$ 的组合，并受 h-规范对称性的约束。
• 影子扇区的解耦： 通过哈密顿分析，论文证明了额外场（影子扇区）产生了一个自由的、完全解耦的哈密顿量，其具有负能量（在多正定度规下），且不与物理扇区发生相互作用。这种解耦在坐标空间中得到了明确证明，无需 Sen 形式体系中所需的非局部动量空间重定义。
• 恢复规范势与最小耦合： 通过规范固定到基于势的表述，作者恢复了一种可以通过标准最小耦合（$A \wedge \star J$）与物质耦合的机制。这使得直接引入动力学物质场变得可行，而这在纯粹基于通量的 Sen 形式体系中是难以实现的。
• 电荷量子化： 论文证明了狄拉克的电荷量子化条件（$qp = 2\pi n$），该条件同样适用于新的基于势的形式体系和 Sen 基于通量的形式体系。该证明依赖于源项的拓扑性质以及路径积分的单值性。
• Witten 效应： 该形式体系成功重现了 Witten 效应，即在存在 CP 破坏的 $\theta$ 项时，磁单极子会获得电荷。这是通过轴子场与规范势的耦合自然实现的，而在仅基于通量的形式体系中很难推导此结果。
• 超对称化： 作者展示了基于势的作用量允许进行直观的超对称化。与 Sen 形式体系中复杂的超对称化过程不同，这种新作用量允许在作用量层面使用标准的超场技术来构建超对称作用量。
• 与 Sen 形式体系的等价性： 论文确立了该新作用量是一个母理论（parent theory），可以通过特定的规范固定导出 Sen 的作用量。因此，在 Sen 形式体系中进行的所有微扰量子检查（如电流-电流散射）都自动包含在这一新框架内。
• 一般维度： 该形式体系被扩展到一般维度 $d$ 中的 Abelian $p$-形式理论，能够容纳任意 $p$ 和 $d$ 的电-磁对偶。

4. 意义与主张
论文声称，这种新形式体系解决了弦理论的要求（自然倾向于基于通量的描述和影子扇区）与量子场论的实际需求（倾向于使用规范势进行最小耦合和标准量子化）之间的张力。

• 统一性： 它统一了基于通量的 Sen 方法与基于势的标准电动力学方法，表明它们是同一个底层理论的不同规范选择。
• 实用性： 它为在平坦时空中处理对偶对称理论提供了一个“务实的处方”：只要尊重由调和高阶形式对称性所规定的特定场强定义，人们就可以使用熟悉的、涉及势的类麦克斯韦作用量。
• 一致性： 作者断言，新形式体系通过了所有非平凡的一致性检查，包括 Witten 效应、电荷量子化，以及正确重现了与 Sen 形式体系中推导出的结果相匹配的费曼规则和散射振幅（特别是 QEMD 中的电荷重整化）。
• 未来工作： 论文指出，虽然影子扇区在平坦时空中可以被忽略，但当耦合到动力学引力时，其作用变得至关重要，这属于后续论文 [17] 的讨论范围。

总而言之，本文提出了一个稳健的、规范不变的框架，它保留了 Sen 形式体系的优良特性（洛伦兹不变性、局部性和对偶性），同时克服了其在物质耦合和推导 Witten 效应等物理效应方面的主要局限性。