Differentiability and Other Properties of the Cosmological Volume Function

技术摘要：宇宙学体积函数的可微性及其它性质

问题陈述
在广义相对论中，缺乏一个观测者无关的时间坐标是一个基本挑战。虽然奇异性有时可以提供自然的坐标，但标准的构造面临着局限性。由 Andersson, Galloway 和 Howard 引入的正规宇宙学时间函数 $\tau$ 测量的是观测者自奇异性（大爆炸）以来所能经历的最大固有时间。然而，$\tau$ 通常仅是局部 Lipschitz 连续且几乎处处可微，由于类时截断点集（timelike cut locus）的存在，它在许多情况下并不具备 $C^1$ 连续性。

另一种替代方案是最近引入的宇宙学体积函数 $\tau_V$，它通过时空过去区域的正则体积来测量时间，即 $\tau_V(p) := \text{vol}_g(I^-(p))$。虽然 $\tau_V$ 与 $\tau$ 具有许多相同的结构性质（例如定义了一个全局双曲分裂），但其可微性性质此前尚不明确。一个关键问题是，正则体积测度 $\text{vol}_g$ 可能为无穷大，虽然可以通过选择加权测度来确保可微性（如 Chruściel, Grant 和 Minguzzi 所展示），但这类选择是任意的。本文旨在解决的核心问题是：在具有物理相关性的设定下，正则（非加权的）宇宙学体积函数 $\tau_V$ 是否是一个连续可微（$C^1$）的时间函数，从而能够无需任意选择地提供度规张量的正则分裂。

方法论
本文采用了洛伦兹几何和测度论的技术，将 Chruściel, Grant 和 Minguzzi 关于加权测度的论证应用于正则体积测度的特定情况。

1. 积分的微分： 核心技术方法是对定义 $\tau_V(p) = \int_{I^-(p) \cap I^+(S)} d\text{vol}_g$ 的积分进行微分。作者利用了微分形式的莱布尼茨积分法则，分析了积分区域（过去区域）的变化。
2. 边界的几何分析： 过去区域的边界 $\partial I^-(p)$ 由过去向的零测地线构成。作者利用沿这些零测地线的雅可比场（Jacobi fields）分析了该边界的“速度”。
3. 处理奇异性： 文中对零截断点集（null cut locus）进行了特别处理。作者证明了零截断点集是零测度集，从而确保它不会像类时截断点集影响 $\tau$ 的可微性那样，对体积积分的导数产生贡献。
4. 连续性证明： 证明过程涉及构造候选导数作为在 $\mathring{E}^-(p)$（排除截断点集的边界）上的积分，并利用指数映射的性质和柯西面的紧致性来证明这些映射的连续性。

主要贡献与结果

• 主定理 (Theorem 1.1)： 本文证明了如果 $(M, g)$ 是某个柯西面 $S$ 的未来柯西发展（即时间是从初始数据而非奇异性开始测量的），那么限制在 $I^+(S)$ 上的宇宙学体积函数 $\tau_V$ 是一个正则 $C^1$ 时间函数。
• 推论 1.2 (宇宙学设定)： 在时空为过去体积不完备且没有过去观测者视界（即每个过去不可延伸的因果曲线都能看到整个时空，$I^+(\gamma) = M$）的条件下，假设 $\tau_V$ 是有限的，则 $\tau_V$ 是一个正则 $C^1$ 时间函数。
• 正则度规分裂： $\tau_V$ 的 $C^1$ 正则性允许度规张量进行正则分解：
  $$g = -\beta(d\tau_V)^2 + h$$
  其中 $\beta$ 是一个连续函数，而 $h$ 在 $\tau_V$ 的水平集上诱导出一个连续的黎曼度规。这使得构建一个“维克旋转”（Wick-rotated）后的黎曼度规 $g_R := \beta(d\tau_V)^2 + h$ 成为可能，该度规完全由洛伦兹度规 $g$ 导出，无需任意的加权选择。
• 反例与局限性：
  • 示例 3.8： 展示了如果柯西面 $共 S$ 具有类光部分，$\tau_V$ 可能无法达到 $C^1$ 连续。
  • 示例 3.9： 展示了一个 $\tau_V$ 甚至不是局部 Lipschitz 连续的时空，这种情况发生在时空无法被视为某个柯西面的未来依赖域时（由于具有特定的共形因子，导致存在类空间边界）。
  • 示例 3.10： 说明了 $\tau_V$ 虽然是 $C^1$ 但不是 $C^2$ 的情况，强调了高阶可微性是不保证的。
• 与宇宙学时间 ($\tau$) 的比较：
  • 本文确定了 $\tau$ 的正则性（有限且沿过去不可延伸曲线趋于零）并不自动意味着 $\tau_V$ 的正则性，尽管涉及紧致柯西面和里奇曲率界限的条件（命题 4.1）可以确保这一点。
  • 与 $\tau$ 不同，即使 $\tau_V$ 是正则的，其水平集也不一定是所有的柯西面（示例 4.4）。
  • $\tau$ 的宇宙学截断点集不一定是闭集（示例 4.7），这与标准的黎曼截断点集形成对比。

意义与主张
作者声称，在两种特定且重要的设定中——源自初始数据的时空以及某些没有观测者视界的宇宙学模型——宇宙学体积函数 $\tau_V$ 提供了一个正则的 $C^1$ 时间函数。其重要性在于：

1. 正则性（Canonicity）： 不同于以往需要通过选择任意权重函数来确保可微性的方法，$\tau_V$ 仅依赖于度规 $g$ 和正则体积测度。
2. 度规分裂： $C^1$ 性质允许度规张量进行连续分裂，从而便于定义维克旋转后的黎曼度规 $g_R$。
3. 收敛研究： 构建的 $g_R$ 非常适合使用已建立的度量空间收敛概念（如 Gromov–Hausdorff 收敛）来研究时空序列 $(M_i, g_i)$ 的收敛性，因为它避免了 $\tau$ 或任意测度所固有的不可微性问题。

作者明确指出，虽然 $\tau_V$ 在这些情况下是 $C^1$ 的，但通常不是 $C^2$ 的，且其水平集并不总是具有与 $\tau$ 相同的柯西性质（示例 4.4）。这些结果旨在确立 $\tau_V$ 在“许多感兴趣的情况”下的可微性，而非在所有时空中普遍成立。