A Geometric Task-Space Port-Hamiltonian Formulation for Redundant Manipulators

技术摘要：一种针对冗余机械臂的几何任务空间端口-哈密顿（Port-Hamiltonian）表述法

问题陈述
冗余机械臂（即其自由度多于特定微分运动学任务所需自由度的系统）在建模与控制方面面临挑战。虽然针对冗余性的拉格朗日表述法在文献中已有成熟应用（例如，Dietrich 等人，2015；Ott 等人，2015），但目前仍需要一种严谨的几何框架，能够在端口-哈密顿（pH）形式下显式地处理任务空间与零空间之间的能量与功率分解。现有的针对任务空间阻抗塑造的 pH 方法（例如，Scherpen 等人，2025）通常针对非冗余系统，或者未能充分利用冗余性的结构特性。核心问题在于，缺乏一种能够将系统的动量和功率端口自然分解为任务空间和零空间分量的 pH 模型，从而便于进行基于能量的分析与控制设计。

方法论
作者提出了一种从标准哈密顿动力学通过坐标变换推导出的新型几何 pH 表述法。该方法通过以下步骤进行：

1. 几何分解：

   • 速度空间： 利用惯性度量 $M(q)$，将切空间 $T_qQ$ 分解为任务雅可比矩阵 $J(q)$ 的核（零空间）及其 $M$-正交补空间。这使得关节速度 $\dot{q}$ 可以被唯一地拆分为任务空间分量 $v$ 和零空间分量 $\nu$。
   • 力空间： 对广义力空间 $T^*_qQ$ 进行对偶分解。转矩 $\tau$ 被分解为位于 $J^\top$ 像空间内的分量 $\tau_F$（任务空间力）以及位于任务空间速度子空间零化子内的分量 $\tau_0$（零空间力）。
   • 功率平衡： 这种分解表明，机械功率 $\tau^\top \dot{q}$ 可拆分为两个独立的项：$\tau_F^\top v$（任务功率）和 $\tau_0^\top \nu$（零空间功率）。

2. 坐标变换：

   • 为了将此分解嵌入到 pH 结构中，作者定义了一个扩展任务速度 $\eta_e = \bar{J}(q)\dot{q}$，其中 $\bar{J}$ 结合了任务雅可比 $J$ 与零空间基矩阵 $N$。
   • 对标准哈密顿状态 $(q, p)$ 应用坐标变换 $\Phi$，将动量 $p$ 转换为扩展动量 $\pi_e = \bar{J}^{-\top}(q)p$。
   • 该变换产生了一个新的状态向量 $z = (q, \pi, \pi_\nu)$，其中 $\pi$ 代表任务空间动量，$\pi_\nu$ 代表零空间动量。动力学能被证明可以分解为涉及扩展迁移率张量 $\bar{\Lambda}$ 逆矩阵的任务空间与零空间二次型之和。

3. 系统构建：

   • 生成的系统是一个具有反对称互联矩阵 $J_z$ 的端口-哈密顿系统（方程 27）。该系统具有两个截然不同的功率端口：一个任务端口 $(\sigma, \eta)$ 和一个零空间端口 $(\tau_0, \nu)$。
   • 互联矩阵包含显式模拟任务与零空间动力学之间内部能量耦合的非对角项 ($G_{12}$)。

4. 控制设计 (IDA-PBC)：

   • 作者将互联与阻尼分配无源控制（IDA-PBC）框架应用于新模型。
   • 控制目标是稳定期望的任务空间平衡点 $x^*$ 并塑造任务空间阻抗。
   • 通过保持动能结构并引入整形势能 $V_c(q)$ 来求解匹配条件。
   • 生成的控制律由三个部分组成：能量整形（用于定义平衡点）、能量路由（用于在不消耗能量的情况下修改互联关系）以及阻尼注入（用于确保渐近稳定性）。

核心贡献

• 新型几何 pH 模型： 本文提出了首个通过坐标变换将动量和功率严格分解为任务空间与零空间分量的冗余机械臂 pH 表述法。
• 对偶分解： 引入了一种在物理上具有意义且在数学上与速度分解保持一致的广义力空间对偶分解，该分解利用了动力学一致投影器。
• 显式功率端口： 该模型显式识别了两组功率共轭端口对：用于任务空间（模拟外部交互）和用于零空间（模拟内部冗余动力学）。
• 通过 IDA-PBC 进行阻抗塑造： 作者通过设计 IDA-PBC 控制器验证了该模型的实用性，该控制器能够稳定任务空间构型并主动塑造任务端口的阻抗（刚度和阻尼）。

结果
所提方法通过在执行 3 自由度笛卡尔位置任务的 7 自由度 Franka Emika Panda 机器人上的仿真得到了验证。

• 稳定性： 在无外部扰动的情况下，闭环系统表现出稳定性，总哈密顿量 $H_{cl}$ 保持非增。
• 阻抗行为： 仿真展示了塑造任务空间阻抗的能力。通过改变势能项 $V_c(q)$，作者实现了在平衡点处不同的刚度特性（软 vs 硬）。
• 冗余处理： 结果证实，控制器可以在管理零空间动力学的同时稳定任务空间位置 $x^*$。导致相同 $x^*$ 的不同关节构型 $q^*$ 被成功稳定，并表现出截然不同的零空间能量行为，说明了控制器处理冗余性的能力。
• 能量轨迹： 仿真图显示了任务空间能量 ($\bar{K}_t$)、零空间能量 ($\bar{K}_\nu$) 以及总能量 ($H_{cl}$) 的演化，证实了预期的能量交换与耗散特性。

意义与主张
作者声称，这项工作为在端口-哈密顿框架内分析和控制冗余机械臂提供了严谨的理论基础。通过将系统分解为任务空间和零空间端口，该模型促进了：

1. 基于能量的分析： 与传统的拉格朗日描述相比，它简化了能量流和无源性质的分析。
2. 模块化控制： 它为显式考虑冗余的任务空间控制策略开辟了新的可能性，允许独立塑造任务阻抗和零空间行为。
3. 结构洞察： 该表述揭示了任务与零空间动力学之间耦合的几何本质，而这种耦合在其他表述中往往被掩盖。

论文得出结论，该表述是开发先进的、具备能量感知能力的冗余机器人系统控制策略（特别是对于需要精确阻抗控制和安全物理交互的应用）的重要一步。