A dichotomy of finite element spaces and its application to an energy-conservative scheme for the regularized long wave equation

技术摘要：有限元空间的二分性及其在正则化长波方程能量守恒格式中的应用

问题陈述
本文探讨了在非线性色散波动方程的能量守恒 Galerkin 离散化中观察到的一个特定现象：基于有限元空间多项式次数的异常收敛行为二分性。具体而言，当使用连续 Lagrange 有限元空间且多项式次数为奇数时，可以实现最优收敛阶；而对于偶数阶多项式，收敛速率会降低。作者旨在证明这种行为是有限元空间本身结构的内在属性，而非特定数值格式的产物。此外，本文研究了该性质对正则化长波（RLW）方程（也称为 Benjamin–Bona–Mahony 或 BBM 方程）的影响，该方程是描述长表面水波的基本模型，具有质量、冲量和能量守恒律。

方法论
分析是在定义在均匀周期网格上的一维连续 Lagrange 有限元空间（$V^k_h$）框架内进行的。核心方法论涉及有限元空间的直和分解 $V^k_h = S^1_h \oplus S^2_h$，其中 $S^1_h$ 由基于顶点的函数组成，$S^2_h$ 则由泡函数（bubble functions）组成。

1. $L^2$ 投影分析： 作者对导数的 $L^2$ 投影 $P$ 进行了严格分析。他们证明了对于足够光滑的周期函数，误差项 $\|P[(Pu - u)_x]\|$ 仅在奇数多项式次数（$k = 2\kappa + 1$）下表现出“超逼近”（super-approximation）特性，达到 $O(h^{k+1})$ 阶。相比之下，对于偶数阶（$k = 2\kappa$），误差保持在标准的最佳阶 $O(h^k)$。这一区别是通过利用正交多项式的性质以及特定的基函数（如 $\psi$ 和 $\phi_j$），对顶点子空间和泡子空间的投影进行详细估计得出的。
2. 半离散格式： 针对 RLW 方程提出了一种改进的 Galerkin 有限元法。该格式旨在同时守恒质量和三次能量泛函。半离散格式被表示为一个涉及非线性项和色散项的 $L^2$ 投影的常微分方程组。
3. 误差分析： 为半离散格式建立了理论上的先验误差界。证明过程依赖于第 2 节中建立的导数 $L^2$ 投影的二分性性质。分析区分了奇数 $k$ 和偶数 $k$ 的情况，以推导出解 $u$ 及其导数 $u_x$ 的特定收敛速率。
4. 冲量逼近： 虽然所提格式守恒质量和能量，但它并不严格守恒冲量泛函。作者分析了冲量逼近的精度，表明其精度随多项式次数的变化而保持在高水平。
5. 全离散格式： 为了在时间上积分半离散系统并保持能量泛函，作者采用了松弛 Runge–Kutta 方法。这些方法通过调节松弛参数 $\gamma_n$ 来调整时间步长，以确保精确的能量守恒。

主要贡献与结果

• 理论二分性： 主要贡献在于证明了导数的 $L^2$ 投影的超逼近特性仅限于奇数阶 Lagrange 有限元空间。对于奇数 $k$，$\|P[(Pu - u)_x]\| = O(h^{k+1})$；对于偶数 $k$，界限为 $O(h^k)$。
• RLW 的收敛速率： 将此性质应用于 RLW 方程的能量守恒格式，作者得出：
  • 对于奇数 $k$：数值解以最优阶 $O(h^{k+1})$ 收敛，且导数近似 $u_x$ 也以 $O(h^{k+1})$ 阶收敛（超收敛）。
  • 对于偶数 $k$：收敛是次优的，解以 $O(h^k)$ 收敛，导数以 $O(h^{k-1})$ 收敛。
• 冲量守恒： 本文证明，虽然改进后的格式不严格守恒冲量泛函，但冲量逼近的误差对于奇数 $k$ 为 $O(h^{2k})$，对于偶数 $k$ 为 $O(h^{2k-2})$。
• 数值验证： 大量的数值实验证实了理论预测。误差 $\|P[(Pu - u)_x]\|$ 以及 RLW 解的收敛速率与推导的界限相匹配。此外，模拟显示质量和能量在机器精度下得到守恒，而冲量误差保持在较小范围内并遵循预测的收敛模式。

意义
本文声称，在能量守恒格式中观察到的收敛行为二分性并非数值异常，而是所使用的有限元空间的根本属性。通过将收敛速率直接通过导数的 $L^2$ 投影与多项式次数的奇偶性联系起来，这项工作为文献中之前的经验观察（例如 [28]）提供了理论解释。结果表明，对于涉及三次能量泛函和导数投影的问题，选择奇数阶多项式不仅是一种启发式选择，而且是实现最优精度的必要条件。所提出的 RLW 方程能量守恒格式作为一个具体的应用，证明了只要选择了合适的有限元空间，就可以同时实现高阶精度和基本物理量（质量和能量）的守恒。