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Energy-efficient torque allocation for straight-line driving of electric vehicles based on pseudoconvex polynomials

本文提出了一种基于伪凸多项式近似电机损耗并施加单调性与非负性约束的扭矩分配方法，旨在通过高效求解非线性优化问题，在确保实时性的同时最小化多电机电动汽车直线行驶时的电池能耗。

原作者： Josip Kir Hromatko, Šandor Ileš, Branimir Škugor, Joško Deur

发布于 2026-03-11

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原作者： Josip Kir Hromatko, Šandor Ileš, Branimir Škugor, Joško Deur

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇文章主要讲的是如何让多电机的电动汽车更省电。

想象一下，你开着一辆有四个独立马达的电动汽车（就像四个强壮的工人，每个轮子都有一个专属的“大力士”）。当你踩油门时，你需要这四个工人一起出力。问题是：怎么分配力气，才能让这四个工人最省力，从而少消耗电池里的电？

这篇论文提出了一种聪明的“分配策略”，我们可以把它拆解成三个有趣的部分来理解：

1. 核心难题：工人的“脾气”很难猜

每个电机（工人）在干活时都会发热、损耗能量。这种损耗不是简单的直线关系，它像是一个复杂的曲线。

以前的做法：为了算得准，工程师们要么用查表法（像背字典一样，把各种情况都记下来，但太死板），要么用复杂的数学公式（像解高数题，算起来太慢，车子跑起来根本来不及反应）。
现在的挑战：如果公式太简单，算不准，车子就费电；如果公式太复杂，电脑算不过来，车子就反应迟钝。而且，如果数据有噪音（比如传感器有点不准），简单的公式容易“瞎猜”，导致分配错误。

2. 创新方案：给公式戴上“紧箍咒”

作者想出了一个绝妙的办法：用高阶多项式（一种高级的数学曲线）来模拟电机的损耗，但给这个曲线加上特殊的“紧箍咒”。

什么是“紧箍咒”？
想象你在画一条代表“损耗”的曲线。这条线必须遵守两个铁律：
1. 只能往上走（单调性）：你越用力，损耗肯定越大，不能出现“越用力越省电”的怪事。
2. 形状要平滑（伪凸性）：曲线不能像过山车一样忽上忽下，必须是一个“碗”状或者平滑上升的形状。
怎么做到？
作者使用了一种叫**“平方和（Sum of Squares）”**的数学魔法。这就像是在告诉电脑：“你画这条线的时候，必须保证它是‘正数’的平方和，这样它就不可能变成负数，也不可能乱跳。”
- 好处：这种方法既保留了高阶多项式的高精度（能拟合复杂的曲线），又强制它遵守物理规律（不会画出荒谬的结果）。即使原始数据有点乱（噪音），这个“紧箍咒”也能保证画出来的线是靠谱的。

3. 实际应用：像指挥家一样分配力气

有了这个精准的“损耗地图”，车子就可以实时计算了：

场景一：四个工人一样强壮（四个电机相同）
如果需求不大，就让一个轴（比如前轮）单独干；如果需求大了，就四个一起干，而且力气要分得均匀。
场景二：工人强弱不同（前轮电机弱，后轮电机强）
这时候分配就更讲究了。小力气时，只让弱电机干（因为它在低负荷下效率高）；力气大了，再让强电机加入。
- 比喻：就像你搬箱子，小箱子让瘦子搬，大箱子得让壮汉来，或者两人一起搬，但怎么配合最省力，需要实时计算。

4. 结果：省了一点点，但很关键

作者用各种真实的驾驶路况（比如城市堵车、高速巡航）测试了这个方法：

效果：和那种“最完美但算得慢”的基准方法相比，他们的方法只多消耗了 1% 到 2% 的电。
意义：虽然看起来不多，但在电动汽车领域，这 1% 可能意味着多跑几公里。更重要的是，这个方法算得飞快（几毫秒），完全可以装在车子的电脑里实时运行，还能顺便处理刹车、防侧滑等其他任务。

总结

这就好比给电动汽车的“大脑”装了一个既聪明又守规矩的管家。

聪明：它能用复杂的数学模型精准预测每个电机的耗电情况。
守规矩：它用“平方和”的数学约束，确保预测结果不会违背物理常识（比如不会算出越用力越省电）。
结果：让车子在行驶过程中，能像老练的司机一样，瞬间做出最省油的力气分配决定，既保证了续航，又反应迅速。

这篇论文的核心价值在于：用一种数学上的“巧劲”，在“算得准”和“算得快”之间找到了完美的平衡点。

这是一份关于论文《基于伪凸多项式的电动汽车直线行驶节能扭矩分配》（Energy-efficient torque allocation for straight-line driving of electric vehicles based on pseudoconvex polynomials）的详细技术总结。

1. 研究背景与问题定义 (Problem)

背景：电动汽车（EV）的普及要求提高能源效率以延长续航里程。多电机电动汽车（如四轮独立驱动）提供了扭矩分配的灵活性，可以通过优化扭矩分配来最小化电池能耗。
核心问题：如何在满足驾驶员扭矩需求的前提下，实时优化扭矩分配策略以最小化电机损耗？
现有挑战：
- 离线规则/查表法：虽然计算简单，但难以适应变化的车辆参数、环境条件或其他控制系统的约束（如制动法规、舒适性要求），缺乏实时适应性。
- 在线优化法：虽然灵活，但电机损耗模型通常是非线性的。直接优化可能导致非凸问题，陷入局部最优解，或者为了保持凸性而引入过大的建模误差。
- 数据拟合：高阶多项式或神经网络虽然拟合精度高，但容易过拟合，且在稀疏或含噪数据下可能产生不合理的物理行为（如非单调性），且计算成本较高。
目标：开发一种既能准确拟合电机损耗（保留非线性特性），又能保证优化问题的良好性质（如伪凸性），且适合实时计算（在线优化）的扭矩分配方法。

2. 方法论 (Methodology)

本文提出了一种基于**伪凸多项式（Pseudoconvex Polynomials）和平方和规划（Sum of Squares, SOS）**的扭矩分配框架。

2.1 电机损耗建模

多项式近似：使用任意阶次的多项式来拟合电机损耗数据 $P_{m,loss}(\tau_m)$ 。
伪凸性约束：为了确保优化问题的良好性质，强制要求损耗函数是**伪凸（Pseudoconvex）**的。对于单变量函数，这意味着函数在极小值点左侧单调递减，右侧单调递增。在电机损耗场景下（假设损耗随扭矩单调增加），这转化为要求损耗函数的导数非负（ $f'(x) \ge 0$ ）。
平方和（SOS）编程：
- 直接约束多项式导数非负在数学上较难处理。
- 利用 SOS 分解技术，将“非负性”约束转化为“平方和”约束。即要求导数 $p'(x)$ 可以表示为 $x \cdot s(x) + t(x)$ 的形式，其中 $s(x)$ 和 $t(x)$ 均为平方和多项式。
- 这种方法将约束转化为半定规划（SDP）问题，可以使用现代求解器（如 MOSEK）高效求解。
- 优势：SOS 方法对噪声数据和稀疏数据具有鲁棒性，能防止过拟合，确保拟合出的多项式符合物理规律（单调递增、正值）。

2.2 扭矩分配策略

车辆模型：考虑四轮独立驱动（或前后轴不同电机）的直线行驶场景。假设左右轮扭矩相等，问题简化为前后轴扭矩分配比 $\sigma$ 的优化。
优化问题：
- 目标函数：最小化前后电机损耗之和。
- 变量：扭矩分配比 $\sigma$ 。
- 求解方法：
  1. 梯度法：将问题构建为受约束的非线性优化问题，使用非线性求解器（如 Fatrop）实时求解。
  2. KKT 条件法：利用目标函数是多项式的特性，通过求解目标函数导数的根（KKT 条件）来寻找全局最优解，避免陷入局部最优。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

基于 SOS 的任意阶伪凸多项式拟合方法：提出了一种新的方法，利用平方和规划约束，能够拟合任意阶次、具有正值和单调递增特性的电机损耗多项式。这解决了高阶多项式拟合中常见的非物理行为问题。
实时可行的梯度扭矩分配策略：基于上述多项式模型，提出了一种梯度下降的扭矩分配策略。该方法计算效率高，能够实时运行，并易于与其他车辆控制系统集成。
基于 KKT 条件的全局最优解识别：对比了梯度法与基于 KKT 条件（寻找多项式导数根）的方法。证明了在特定条件下，KKT 方法可以有效识别全局最优解，避免局部极小值带来的次优解。
广泛的验证：在多种认证驾驶循环（WLTP, UDDS, US06 等）和不同电机配置（同轴电机相同 vs. 前后轴电机不同）下进行了验证。

4. 实验结果 (Results)

拟合精度：
- 与无约束多项式拟合相比，SOS 约束下的伪凸多项式在低扭矩区域消除了非单调的振荡行为，更符合物理规律。
- 高阶多项式（如 10 阶）在保持物理约束的同时，比低阶（如 3 阶）多项式具有更高的拟合精度，特别是在数据存在噪声或稀疏时。
扭矩分配性能：
- 同轴电机相同：优化结果与基准（网格搜索）非常接近。
- 前后轴电机不同：伪凸多项式方法表现优于无约束多项式方法。
- KKT 方法的优势：在前后电机不同的复杂场景下，基于 KKT 条件的方法显著减少了能量消耗，其结果更接近全局最优的网格搜索基准。
能耗影响：
- 与基于网格搜索的基准方法相比，提出的梯度法（含 KKT 优化）在多种驾驶循环下的总能耗增加非常小（平均约 1.5%，最大约 2.37%）。
- 考虑到环境温度和电池健康度等其他因素对续航的影响，这种微小的能耗增加是可以接受的，换取了实时优化的能力。
计算效率：
- 在 PC 上，梯度法的平均执行时间约为 3ms，最大约 15ms。
- 考虑到嵌入式硬件与 PC 的性能差异，该方法完全满足实时控制（采样时间 1s）的要求。

5. 意义与结论 (Significance)

理论价值：成功将 SOS 编程引入电机损耗建模，解决了高阶多项式拟合中“精度”与“物理合理性（单调性/凸性）”之间的矛盾。
工程应用：
- 提供了一种在线优化的替代方案，替代了传统的离线查表法。
- 能够灵活处理动态变化的约束（如不同的扭矩限制、制动法规、驾驶舒适性要求）。
- 计算负担低，适合在车载控制器（ECU）上部署。
未来展望：该方法为多电机电动汽车的能效管理提供了一个鲁棒且高效的框架。未来的工作可以扩展到考虑不对称损耗地图（牵引与制动不同）以及多变量（转速与扭矩同时变化）的联合拟合。

总结：该论文通过引入伪凸多项式和 SOS 优化技术，成功构建了一个既具备高精度又满足实时性要求的电动汽车扭矩分配系统，在保证能耗仅微幅增加的前提下，实现了控制策略的在线化和自适应化。