技术摘要：用于主动感知的稀疏传感器阵列

问题陈述

主动感知系统（如雷达、声呐和医学超声）传统上依赖均匀线性阵列（ULA）来实现高角度分辨率。然而，为了分辨紧密相邻的目标，ULA 需要大量的物理传感器，这导致了硬件复杂性、成本和功耗的增加。虽然稀疏传感器阵列通过利用虚拟阵列概念，为使用更少物理元件实现高分辨率提供了一条途径，但现有的大多数研究都集中在被动感知（使用差分共阵列）上。

在主动感知中，相关的虚拟结构是和共阵列（sum co-array），由发射（Tx）和接收（Rx）传感器位置的成对之和组成。存在一个显著的文献空白，即针对主动感知设计专用稀疏阵列的研究。主要挑战包括：

1. 阵列配置： 确定传感器位置，其中 Tx 和 Rx 阵列可能受限于共享相同的物理位置（完全重叠），这在单基雷达和医学超声中很常见。寻找**最小冗余阵列（MRA）**对于这些配置是一个组合优化问题，对于大量传感器而言，其计算复杂度会变得难以处理。
2. 栅瓣： 稀疏阵列存在空间欠采样问题，会导致波束图中出现栅瓣。在主动感知中，有效波束图是 Tx 和 Rx 波束图的乘积，但在维持连续虚拟孔径的同时减轻这些栅瓣，需要精心的设计。
3. 波束形成合成： 在稀疏阵列上合成期望的联合 Tx-Rx 波束图，如果阵列具有冗余性，通常需要多次传输（分量图像）。需要理解阵列稀疏度与合成任意虚拟阵列权重所需的成分图像数量之间的权衡。

方法论

本文建立了一个用于主动稀疏阵列设计和信号处理的一般框架，重点关注一维全数字波束形成架构。

1. 信号建模

作者定义了一个主动感知信号模型，其中线性 Tx 阵列照射 $K$ 个远场散射体，且共置的 Rx 阵列接收回波信号。

• 虚拟阵列（和共阵列）： 模型的核心是和共阵列 $D_\Sigma = D_t + D_r$，其中 $D_t$ 和 $D_r$ 是 Tx 和 Rx 传感器的位置集合。与被动感知中的差分共阵列不同，和共阵列由于共置 Tx/Rx 阵列的相位相干性而自然产生，无需对源信号进行统计假设。
• 测量模型： 接收信号向量被向量化，并使用 Khatri-Rao 积表示，将物理测量值与通过冗余模式矩阵 $\Upsilon$ 关联的虚拟和共阵列流形联系起来。

2. 阵列配置设计

本文根据 Tx 和 Rx 传感器之间的重叠程度将主动阵列分为三类：完全重叠、部分重叠和非重叠。

• 最小冗余阵列 (MRA)： 作者将主动 MRA 定义为在给定物理传感器数量下，能够最大化连续和共阵列尺寸的配置。
  • 对于非重叠阵列，存在闭式解（嵌套几何结构），该结构是非冗余的。
  • 对于完全重叠的阵列（其中 $D_t = D_r = D$），寻找 MRA 是一个困难的组合优化问题。论文指出，已知解仅限于 $N=48$ 个传感器以内。
• 对称稀疏阵列： 为了解决大规模 $N$ 下计算不可行的问题，作者提出了一类对称稀疏阵列。
  • 他们引入了一个基于生成器的框架，其中对称阵列 $S$ 由生成器 $G$ 和偏移量 $\ell$ 构建。
  • 定理 9.1 提供了一个充分条件：如果生成器 $G$ 具有连续的差分共阵列，且偏移量 $\ell$ 满足特定约束，则所得对称阵列 $S$ 拥有连续的和共阵列。
  • 作为特定示例，他们推导出了对称嵌套阵列 (SNA) 和级联嵌套阵列 (CNA)。这些配置具有可扩展性、对称性，并且能实现连续的和共阵列。
  • 作者证明，这些对称配置的渐近冗余度有界为 2，这为完全重叠主动 MRA 的渐近冗余度提供了一个紧致上界。

3. 波束形成与图像叠加

本文讨论了如何在稀疏阵列上合成期望的波束图。

• 联合 Tx-Rx 波束形成： 有效波束图是 Tx 和 Rx 波束图的乘积。作者在和共阵列的语境下解释了联合波束形成权重。
• 图像叠加： 为了合成无法通过单个 Tx-Rx 权重对实现的期望虚拟波束图（或和共阵列权重），作者利用了图像叠加技术。该技术线性组合了多个“分量图像”（每个分量图像对应于一个不同的 Tx-Rx 波束形成权重对）。
• 优化： 该问题被表述为寻找一个低秩权重矩阵 $W$，使得 $\Upsilon \text{vec}(W) = w_\Sigma$，其中 $w_\Sigma$ 是期望的和共阵列权重。
• 权衡： 论文强调了一个基本的时空权衡：越稀疏的阵列，合成任意共阵列权重所需的成分图像数量 ($Q$) 就越多。具体而言，虽然 ULA 可能只需要 $Q \le 2$，但具有 $N$ 个传感器和 $N^2$ 个虚拟传感器的稀疏阵列可能需要 $Q \propto N$。

核心贡献

1. 主动 MRA 的定义与分析： 本文正式将最小冗余阵列的概念扩展到主动感知领域，区分了重叠型和非重叠型传感器配置。它强调了寻找完全重叠 MRA 的计算难度。
2. 可扩展的对称阵列框架： 作者提出了一个通用的方法，通过生成器和偏移量来生成具有连续和共阵列的对称稀疏阵列。该框架允许构建拥有数百甚至数千个传感器的阵列，克服了传统 MRA 搜索的组合限制。
3. 对称嵌套阵列 (SNA) 与 CNA： 作者为特定的对称嵌套配置 (CNA) 推导了闭式参数，该配置能最小化冗余。他们证明了这种配置实现了连续的和共阵列，并为完全重叠主动阵列提供了渐近冗余度为 2 的上界。
4. 稀疏阵列的图像叠加： 本文阐明了主动感知中图像叠加的角色，将其视为合成任意和共阵列权重的方法。文中明确量化了阵列稀疏度与波束形成合成所需的传输次数（成分图像）之间的权衡。
5. 主动与被动感知的统一视角： 通过关注对称阵列，本文表明设计合理的配置可以同时提供连续的和共阵列与差分共阵列，从而统一了主动和被动感知的设计原则。

结果

• 阵列性能： 所提出的对称嵌套阵列对于 $N$ 个物理传感器，其连续和共阵列尺寸约为 $N^2/4$，这与非重叠 MRA 的性能相当，同时具备共享传感器位置的实际优势。
• 冗余度界限： 所提出的对称类别的渐近冗余度被证明为 2。这作为最优完全重叠 MRA 的渐近冗余度的一个已证上界（目前对于 $N \ge 49$ 的情况尚不明确）。
• 波束形成合成： 分析确认，虽然稀疏阵列提供了高分辨率，但它们需要多个分量图像才能充分利用虚拟阵列的自由度。论文提供了最小化合成矩阵秩以减少所需传输次数的数学公式。

意义与主张

本文将自己定位为主动感知领域从业者和研究人员的实用指南。其主要意义在于弥合了 MRA 的理论最优性与实际对可扩展、对称阵列设计需求之间的差距。

• 实用框架： 作者声称提供了一个“通用且实用的框架”，用于生成适用于主动和被动感知的对称阵列，回答了诸如“众所周知的被动配置（如嵌套阵列）是否可以适配于主动使用”的问题。
• 可扩展性： 与寻找 MRA 具有高昂计算成本不同，所提出的对称配置可以为任何数量的传感器生成，使其适用于大规模系统。
• 双重用途： 本文强调，对称阵列的独特之处在于其能够同时提供连续的和共阵列与差分共阵列，从而统一了主动和被动感知的设计原则。
• 权衡意识： 作者谦逊地指出，本文阐明了阵列稀疏度与波束形成合成的时间成本（传输次数）之间的基本权衡，并建议未来的工作应专注于识别那些可以用常数个成分图像 ($Q=O(1)$) 即可完成合成的波束图。

作者总结道，虽然稀疏阵列提供了成本效益和性能提升，但其部署需要仔细考虑特定的感知模态（主动 vs 被动）以及与传感器布局和波形设计相关的约束。