Weyl-transverse gravity with boundaries

技术摘要：带边界的 Weyl-横向引力

问题陈述
Weyl-横向引力（WTG）是一种度规引力理论，在经典上与广义相对论（GR）等价，但具有更低的规范对称性：它是对 Weyl 变换和横向微分同构的不变性，而非一般的微分同构不变性。WTG 的一个定义性特征是存在一个固定的、非动力学的背景体积形式 $\omega$。虽然 WTG 的体相运动方程重现了爱因斯坦方程，但由于对称性降低以及固定的背景体积形式，其变分原理和守恒量定义发生了变化。在此项工作之前，缺乏在存在一般类时和类空边界的情况下，对 WTG 进行协变相空间表述的研究。这一空白阻碍了对研究热力学和守恒量所必需的边界条件、辛结构和 Noether 电荷的严格定义。

方法论
作者采用协变相空间形式，采用 [9] 中建立的框架来分析带边界的 WTG。该方法通过以下步骤进行：

1. 作用量与变分原理： 该理论使用动力学度规 $g_{\mu\nu}$ 和辅助度规 $\tilde{g}_{\mu\nu}$ 来构建，后者在构造上是 Weyl 不变的。作用量包含一个与辅助度规的 Ricci 标量成正比的体项和一个边界项 $\ell$。通过计算作用量的变分，以识别体运动方程以及必须消失以使作用量可微的边界项。
2. 辛结构： 作者推导了辛势 $\Theta$ 和前辛流 $\tilde{\omega}$。他们通过分析作用量的边界变分，来确定一组使变分原理良定的边界项 $C$ 和边界条件。这涉及将边界分解为类时 ($\Gamma$) 和类空 ($\Sigma_\pm$) 分量。
3. 边界条件： 本文系统地推导了辅助度规 $\tilde{g}_{\mu\nu}$ 和动力学度规 $g_{\mu\nu}$ 的容许边界条件。这包括辅助度规的 Dirichlet 条件和 Neumann 条件，以及动力学度规的 Dirichlet、Neumann 和 York 型条件。
4. Noether 流与哈密顿量： 利用推导出的辛势，作者构造了由矢量场 $\xi$ 生成的横向微分同构相关的 Noether 流 $J_\xi$。他们通过积分该电流来定义哈密顿生成元 $H_\xi$，并在包含分叉 Killing 视界的时空中对其进行评估。

核心贡献与结果

• 辛势与边界条件：
  作者推导了引力部门的辛势 $\Theta_G$。他们确定了一族边界拉格朗日量 $\ell_b = \frac{b}{16\pi G}\tilde{K}\omega_\Gamma$，使得变分原理是一致的。

  • 辅助度规： 他们建立了 Dirichlet 条件（固定诱导辅助度规 $\tilde{q}_{\mu\nu}$）和 Neumann 条件（固定动量 $\tilde{\Pi}_{\mu\nu}$）。
  • 动力学度规： 他们表明，固定动力学度规需要同时固定其共形类和边界体积形式（Dirichlet 型）或平均曲率（York 型）。
  • York 边界条件： 一个显著的结果是，York 边界条件（固定诱导度规的共形类和外曲率的迹）在 WTG 中自然出现。这是因为 WTG 中的基本动力学变量与关联于体积形式的度规在共形上相关，这使得 WTG 成为一个本质上适配 York 数据的框架。

• Noether 流与表面电荷：
  针对横向微分同构推导了 Noether 流 $J_\xi$。与 GR 不同，该电流包含一个与背景体积形式 $\omega$ 和拉格朗日歧义参数 $\lambda$（与宇宙学常数相关）成正比 world 的附加项。发现该电流为：
  $$J_\xi \approx dQ_{GR} - \frac{\Lambda - \lambda}{8\pi G} \xi \cdot \omega$$
  其中 $Q_{GR}$ 是标准的 GR Noether 电荷。因此，表面电荷被来自无迹爱因斯坦方程的积分常数 $\Lambda$ 所修正。

• 黑洞热力学第一定律：
  在包含分叉 Killing 视界的时空中评估哈密顿恒等式，可以得到第一定律关系。作者发现，宇宙学常数的变分 $\delta\Lambda$ 显式地出现在第一定律中：
  $$\delta M = \frac{\kappa}{8\pi G} \delta A + \Omega \delta J + \frac{V}{8\pi G} \delta \Lambda$$
  这里，$V$ 被几何性地定义为 Killing 矢量与背景体积形式在空间切片上的缩并在空间上的积分（$V = \int_{\Sigma_{ext}} \xi \cdot \omega$）。

意义与主张
本文声称提供了研究 WTG 中守恒量所需的完整的边界和相空间框架。其主要意义在于：

1. 澄清变分结构： 它明确展示了降低的规范对称性和固定的背景体积形式如何相对于 GR 修改了变分原理，特别是在边界条件的定义方面。
2. 自然实现 York 条件： 它确立了 WTG 为 York 边界条件提供了一个自然的几何设置，而这些条件对于数学相对论和哈密顿形式至关重要。
3. $\delta\Lambda$ 项的起源： 本文认为，在黑洞热力学第一定律中出现的 $\delta\Lambda$ 项并非是人为添加的（如在将 $\Lambda$ 提升为热力学变量的“黑洞化学”中那样），而是直接源于 WTG 的变分结构以及背景体积形式的存在。
4. 体积的几何定义： 它提供了一个关于 $\Lambda$ 的共轭热力学体积 $V$ 的明确、几何性的定义，该定义严格源自哈密顿分析，这与标准扩展相空间热力学中存在的多种不等价定义形成了对比。

作者得出结论，他们的构建隔离了理论中哪些方面偏离了 GR 以及哪些方面保持不变，为黑洞热力学与类 unimodular 引力形式之间的关系提供了互补的视角。他们建议未来的工作可以探索零边界（null boundaries）、渐近对称性，以及由 WTG 共形结构引起的潜在红外修正或记忆效应。