Laurent type expansion of multiple polylogarithms at integer points

技术摘要：多重多项对数函数在整数点处的 Laurent 型展开

问题陈述
本文研究了多重多项对数函数（记作 $Li(a_1, \dots, a_r; z_1, \dots, z_r)$ 或 $Liz(s_1, \dots, s_r)$）在复域 $\mathbb{C}^r$ 中整数点处的局部行为。虽然这些函数在特定区域（如 $U_r(z)$）内的收敛性和全纯性已得到充分理解，但在整数点处——特别是当处于标准收敛域之外或级数发散之处时——其行为仍然非常微妙。作者之前的研究 [4] 建立了这些级数的正则化过程，并确定了一个更大的收敛域 $V_r(z)$，但并未完全解决全纯性问题，也未能提供这些整数点处的显式展开。核心问题在于构造这些函数在任意整数点 $a \in \mathbb{Z}^r$ 附近的显式 Laurent 型展开，并确定这些函数在这些点处具有全纯性的条件。

方法论
作者采用了一种结合正则化技术、组合恒等式和渐近分析的多方面方法：

1. 正则化与形式幂级数：作者利用了他们在前作 [4] 中定义的正则化过程。他们定义了“正则化值” $\ell(a_1, \dots, a_r)_{[k_1, \dots, k_r]}(z)$，即涉及对数项的级数部分和的渐近展开中的常数项。这使得他们能够构造一个形式幂级数（方程 9），用以表示正则化多重多项对数函数 $Li^{Reg}_{(z;a)}(s_1, \dots, s_r)$。

2. 组合恒等式：一个关键步骤是多重多项对数函数与多重多项对数星函数（$Li^\star$）之间的关系。作者使用了一个组合恒等式（定理 5，方程 19），该恒等式将多项对数的偏和表示为涉及星函数尾部及低阶多项对数函数的交错和。

3. 尾部的渐近展开：论文分析了星函数尾部 $Li^\star_{z}(s_1, \dots, s_r)_{\ge N}$ 当 $N \to \infty$ 时的渐近行为。通过利用平移公式（命题 1）以及对深度和整数参数的归纳，作者推导出了这些尾部相对于特定比较尺度 $E$（涉及 $N$ 的幂次与 $\log N$ 以及系数属于特定代数 $\mathbb{C}_z$）的完整渐近展开。

4. 矩阵求逆与有理函数：为了将正则化函数与原函数联系起来，作者建立了一个涉及不同深度的函数的线性方程组。通过将这些关系表示为矩阵形式（例如 $V = M^{-1}V_{Reg}$），他们对具有有理函数条目的上三角矩阵进行求逆。这一求逆过程得出了 Laurent 展开的显式系数。

主要贡献与结果

• 显式 Laurent 型展开（定理 4 与定理 6）：主要结果是推导出了多重多项对数函数 $Liz(s_1, \dots, s_r)$ 在任何整数点 $a \in \mathbb{Z}^r$ 附近的显式 Laurent 型展开。

  • 对于位于区域 $U_r(z)$ 内的点，定理 4 提供了一个展开式，其中函数被表示为正则化函数与涉及特定超平面 $H^{(i)}_j$ 的有理函数的乘积之和。
  • 定理 6 将此推广到 $\mathbb{C}^r$ 中的所有整数点。它确立了正则化函数的形式幂级数在 $a$ 的一个邻域内收敛，并延拓为 $\mathbb{C}^r$ 上的亚纯函数。展开式为：
    $$Li^{Reg}_{(z;a)}(s) = \sum_{i=0}^r (-1)^i Li_{(z_{i+1}, \dots, z_r)}(s_{i+1}, \dots, s_r) C_i(s_1, \dots, s_i)$$
    其中 $C_i$ 是涉及伯努利数和欧拉多项式的显式定义的有理函数。

• 整数点处的全纯性（推论 1）：论文证明了对于任何整数点 $a \in V_r(z)$，多重多项对数函数 $Liz(s)$在$a$处是全纯的。此外，该函数在$a$处的值恰好等于正则化值$\ell(a_1, \dots, a_r)_{[0, \dots, 0]}(z)$。这解决了 [4] 中留下的关于这些点处全纯性的微妙问题。

• 向非收敛点的扩展（推论 2）：作者表明，即使对于 $V_r(z)$ 之外的整数点，如果参数 $z_i$ 满足特定条件（特别是对于所有 $i$，都有 $z_{[1,i]} \neq 1$），该函数在 $\mathbb{C}^r$ 内仍然是全纯的，且其在任何整数点处的值等于正则化值。

• 星函数的渐近分析（命题 3）：论文提供了具有可变系数的多重多项对数星函数尾部的完整渐近展开，推广了以往针对单变量情况的结果。

意义
该论文声称将 [6] 的工作（该工作提供了多重 Zeta 函数的 Laurent 展开）推广到了参数为单位根的更广泛的多重多项对数函数情形。通过建立正则化幂级数的收敛性并提供展开式的显式公式，作者架起了这些函数的解析延拓与其在整数点处的算术值之间的桥梁。结果证实了 [4] 中定义的正则化过程确实得到了正确的解析延拓，从而验证了正则化值是这些在原级数可能不收敛的整数点处亚纯函数的真实值。这项工作为理解这些在数论和数学物理中至关重要的函数的奇异性和局部行为提供了一个系统性的框架。