技术摘要：多元埃尔米特多项式的广义乘法定理

问题陈述

关于一元埃尔米特多项式的乘法定理（描述了 $H_k(\lambda x)$ 如何通过 $H_{k-2i}(x)$ 进行展开）是数学文献中一个成熟的结果。然而，针对由矩阵 $\Lambda$ 变换参数且基于一般正定协方差矩阵 $\Sigma$ 定义的多元埃尔米特多项式 $H_k(\Lambda x; \Sigma)$，文中并未明确给出其广义版本的乘法定理。

本文旨在解决推导一种乘法定理的需求，该定理能够将线性变换后的向量的多元埃尔米特多项式，表示为原始向量的一系列多元埃尔米特多项式的级数（可能是在不同的协方差结构下）。

方法论

推导过程依赖于多元埃尔米特多项式的生成函数方法。作者利用了已知的生成函数恒等式：
$$\sum_{k \in \mathbb{N}^n} \frac{t^k}{k!} H_k(x; \Sigma) = \exp\left(t^T \Sigma^{-1} x - \frac{1}{2} t^T \Sigma^{-1} t\right)$$

该方法的核心步骤如下：

1. 代入： 将生成函数中的参数 $x$ 替换为 $\Lambda^T x$，其中 $\Lambda \in \mathbb{R}^{n \times m}$。
2. 分解： 将所得的指数项分解为两部分：一部分类似于具有新协方差矩阵 $\Upsilon$ 的埃尔米特多项式的生成函数，另一部分是代表变换后与原始协方差结构之间差异的残余指数项。
3. 重展开： 将第一部分使用 $H_q(x; \Upsilon)$ 的生成函数进行展开。第二部分（残余项）则作为包含克罗内克幂（Kronecker powers）和向量化（$\text{vec}$）的操作的幂级数进行展开。
4. 系数匹配： 通过对等式两边关于幂级数项 $t^{\otimes k}$ 的系数进行匹配，作者分离出 $H_k(\Lambda^T x; \Sigma)$ 的系数与目标多项式 $H_q(x; \Upsilon)$ 之间的关系。
5. 线性代数运算： 证明过程利用了克罗内克积的性质，特别是恒等式 $(A^T b)^k = A^{\otimes k T} b^{\otimes |k|}$，以解析张量结构并提取显式系数。

核心贡献与结果

1. 广义乘法定理

主要结果是推导出了多元埃尔米特多项式的广义乘法定理。对于对称正定协方差矩阵 $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和 $\Upsilon \in \mathbb{R}^{m \times m}$，以及任何矩阵 $\Lambda \in \mathbb{R}^{n \times m}$，该定理指出：

$$H_k(\Lambda^T x; \Sigma) = \sum_{q \in \mathbb{N}^m: |q| \in \{|k|, |k|-2, \dots\}} T_{k,q}(\Sigma \Lambda^T \Upsilon^{-1}; \Sigma, \Upsilon) H_q(x; \Upsilon)$$

系数 $T_{k,q}$ 使用克罗内克幂和向量化进行了显式定义：
$$T_{k,q}(\tilde{\Lambda}; \Sigma, \Upsilon) = \frac{k!}{2^i q! i!} I_n^{\otimes k T} \left( \tilde{\Lambda}^{\otimes q} \otimes \left( \text{vec}(\tilde{\Lambda} \Upsilon^{-1} \tilde{\Lambda}^T - \Sigma^{-1}) \right)^{\otimes i} \right) \Bigg|_{i = \frac{|k|-|q|}{2}}$$

2. 特例与中间概括性

论文推导了该广义定理的几个特定实例，以增强实际适用性：

• 标量协方差： 当 $\Sigma = \sigma^2 I_n$ 且 $\Upsilon = \sigma^2 I_m$ 时，系数显著简化，无需在克罗内克项中进行通用的逆协方差计算。
• 一元投影： 对于变换为向量内积的情况（$\Lambda^T x = \lambda^T x$，其中 $\lambda \in \mathbb{R}^m$），该定理提供了 $H_k(\lambda^T x)$ 关于一元埃尔米特多项式乘积 $\prod_j H_{q_j}(x_j)$ 的级数展开。
  • 对于概率论家埃尔米特多项式（$\Upsilon = I$）：
    $$H_{\mathbf{k}}(\lambda^T x) = \sum_{q} \frac{k!}{2^i q! i!} \lambda^q (\|\lambda\|_2^2 - 1)^i \prod_j H_{q_j}(x_j)$$
  • 对于物理学家埃尔米特多项式（$\Upsilon = \frac{1}{2}I$）：
    $$H_{\mathbf{k}}(\lambda^T x) = \sum_{q} \frac{k!}{q! i!} \lambda^q (\|\lambda\|_2^2 - 1)^i \prod_j H_{q_j}(x_j)$$
    （注：求和索引 $i$ 受限于 $i = (k - |q|)/2$。）

3. 与已知结果的一致性

论文表明，当 $n=m=1$ 并选择适当的协方差矩阵时，可以恢复标准的一元乘法定理（原文中的公式 1）。

重要性与声明

作者指出，这些结果是在进行其他研究的过程中推导出来的，但后来发现它们对于原定目的而言是多余的。因此，本文主要作为一份参考资料呈现给需要这些特定展开式的研究人员。

作者声称，就作者所知，这些结果具有新颖性。本文并未提出新的应用、实验验证或未来的研究方向。相反，其价值在于提供了一个严谨的、广义的数学工具，用于处理线性变换下的多元埃尔米特多项式，这在涉及向量投影和埃尔米特变换的应用中特别有用。这项工作通过将一个已知的一元性质扩展到具有一般协方差结构的多元领域，填补了文献中的空白。