Logarithms and Stirling numbers associated with delta series

技术摘要：与 Delta 级数相关的对数与 Stirling 数

问题陈述
组合分析领域的最新进展引入了概率 Stirling 数和 B-Stirling 数，以实现对经典结果的推广。然而，正如引言中所指出的，这些公式往往存在结构性缺陷，具体表现为缺乏作为稳健反转公式所必需的标准正交性和逆关系。此外，某些定义在确定性极限（例如当随机变量 $Y=1$ 时）下无法恢复经典的 Stirling 数。本文旨在建立一个统一的框架，在恢复这些基本代数性质的同时，扩展 Stirling 数的范畴，使其涵盖退化型和概率型变体。

方法论
作者 Dae San Kim 和 Taekyun Kim 基于 Delta 级数建立了理论框架。Delta 级数被定义为一个满足 $f(0)=0$ 且 $f'(0) \neq 0$ 的形式幂级数。其方法论如下：

1. 与多项式序列的关联： 对于一个 Delta 级数 $f(t)$，令 $\bar{f}(t)$ 为其复合逆。作者通过生成函数 $\sum_{n=0}^\infty p_n(x) \frac{t^n}{n!} = e^{x\bar{f}(t)}$ 定义了一个多项式序列 $\{p_n(x)\}$。
2. 广义 Stirling 数的定义：
   • 第二类 ($S_2(n,k; f(t))$)： 通过生成函数 $\frac{1}{k!}(e^{\bar{f}(t)} - 1)^k = \sum_{n=k}^\infty S_2(n,k; f(t)) \frac{t^n}{n!}$ 进行定义。
   • 第一类 ($S_1(n,k; f(t))$)： 通过生成函数 $\frac{1}{k!}(\bar{e}_{f(t)}(t))^k = \sum_{n=k}^\infty S_1(n,k; f(t)) \frac{t^n}{n!}$ 进行定义，其中 $\bar{e}_{f(t)}(t)$ 是 $e^{\bar{f}(t)} - 1$ 的复合逆。
3. 引入相关对数： 本文定义了一个“与 $f(t)$ 相关的对数”为 $\log_{f(t)}(1+t) = f(\log(1+t))$。该函数是 $e^{\bar{f}(t)} - 1$ 的复合逆。
4. 恒等式推导： 利用 Lagrange 反转公式和偏贝尔多项式（partial Bell polynomials）的性质，作者推导出了将这些广义数与与 $f(t)$ 相关的 Bernoulli 多项式以及它们彼此之间联系起来的显式表达式。

核心贡献与结果

• 恢复正交性与逆关系： 本文证明了定义的数字 $S_1(n,k; f(t))$ 和 $S_2(n,k; f(t))$ 满足基本的正交性和逆关系（命题 2.1）。具体而言，$\sum_{k=l}^n S_2(n,k; f(t))S_1(k,l; f(t)) = \delta_{n,l}$，这确保了它们构成了一对一致的反转对，而这一性质在近期的概率变体中往往是缺失的。
• Schlömilch 型公式： 一个核心结果是推导出了一个 Schlömilch 型公式（定理 2.7），该公式提供了两类 Stirling 数之间的显式联系：
  $$S_1(n,k; f(t)) = \sum_{j=0}^{n-k} \binom{n+j-1}{n+j-k} \binom{2n-k}{n-k-j} (-1)^j (\bar{f}'(0))^{-n-j} S_2(n-k+j, j; f(t))$$
• 相关对数的显式表达式： 利用 Schlömilch 型公式，作者推导出了一个完全由第二类 Stirling 数表示的关于相关对数 $\log_{f(t)}(1+t)$ 的新表达式（定理 2.8）：
  $$\log_{f(t)}(1+t) = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{j=0}^{n-1} \binom{2n-1}{n-1-j} (-1)^j (\bar{f}'(0))^{-n-j} S_2(n-1+j, j; f(t)) \right) \frac{t^n}{n!}$$
• 统一已知结果： 该框架被证明可以统一各种现有的数系。论文展示了：
  • 当 $f(t)=t$ 时，产生经典 Stirling 数。
  • 当 $f(t) = \frac{1}{\lambda}(e^{\lambda t}-1)$ 时，产生退化 Stirling 数。
  • 概率 Stirling 数（与随机变量 $Y$ 相关）对应于满足 $\bar{f}(t) = \log \mathbb{E}[e^{Y_\lambda(t)}]$ 的 Delta 级数。
  • B-Stirling 数对应于生成函数 $B(t) = e^{\bar{f}(t)}$ 的情况。

意义

该论文声称，这种 Delta 级数方法提供了一个“稳健的框架”，解决了近期概率 Stirling 数和 B-Stirling 数定义中存在的结构性不一致问题。通过将定义建立在 Delta 级数的复合逆之上，作者确保了所得出的数字本质上满足正交性和逆关系。

其重要性在于该框架的多样性，文中通过十五个具体的例子（第 3 节）进行了阐释，涵盖了：

• 概率型和退化型 Stirling 数。
• Lah 数和 Lah-Bell 多项式。
• 中心阶乘（central factorials）和中心 Bell 多项式。
• Mittag-Leffler 和 Laguerre 多项式。

作者总结道，该方法论不仅恢复了已知结果，还对其进行了扩展，为组合分析提供了一个一致且计算高效的工具。论文指出，未来的工作可以将此方法应用于其他特殊序列或将其结果扩展到 $q$-模拟（$q$-analogues）。