Formula for Hermite multivariate interpolation and partial fraction decomposition

技术摘要：Hermite 多变量插值与部分分式分解公式

问题陈述
本文探讨了近似理论与代数中两个相互关联的问题：

1. 多变量 Hermite 插值： 为满足在由一组超平面交点定义的点集上的 Hermite 插值条件（函数值及偏导数）的唯一多项式 $p \in \Pi_k^n$（在 $k$ 个变量中总次数至多为 $n$ 的多项式）寻找一个显式公式。
2. 部分分式分解： 为有理函数 $p(x)/q(x)$ 的部分分式分解提供一个直接、显式的解法，特别是在处理具有重根且系数为实数（包括复共轭对）的情况时，无需通过求解大型线性方程组。

方法论
作者 Hakop Hakopian 利用了基于超平面几何排列的 Chung–Yao 插值 框架。

• 几何设置： 令 $L_{n+k} = \{L_1, \dots, L_{n+k}\}$ 为 $\mathbb{R}^k$ 中的一组超平面。假设该集合是“容许的”（admissible），即任意 $k$ 个不同超平面的交集为单个点，且任意 $k+1$ 个超平面的交集为空。

• 重数定义： 对于每个不同的交点 $x^{(i)}$，根据经过该点的超平面数量定义其重数 $m_i$。插值条件要求在每个 $x^{(i)}$ 处匹配函数及其直到 $m_i - 1$ 阶的导数。

• Lagrange–Taylor 公式： 核心方法论贡献是推导出了一个“Lagrange–Taylor”公式。作者定义了一个全局消失多项式 $\phi(x) = \prod L_j(x)$ 以及局部消失多项式 $\phi_i(x)$，后者在除 $x^{(i)}$ 以外的所有交点处消失。
  插值多项式 $p_f$ 构建为如下项之和：
  $$p_f(x) = \sum_{i=1}^s \phi_i(x) \cdot T_{f/\phi_i, x^{(i)}, m_i-1}(x)$$
  其中 $T_{g, c, m}$ 表示函数 $g$ 在点 $c$ 处的 $m$ 阶 Taylor 多项式。证明过程依赖于多元 Leibniz 法则，以展示该构造既满足其他节点处的消失条件，又满足目标节点处的导数再生条件。

• 在单变量分解中的应用： 本文将这一多元框架应用于单变量情况（$k=1$）。通过将分母 $q(x)$ 的根视为线性因子的交点，作者推导出了部分分式分解系数的显式公式。

  • 复根： 该公式利用差商（divided differences）和 Taylor 展开来处理重根问题。
  • 实数分解： 对于出现非实根共轭对的实系数多项式，作者对这些根进行了分组。所得公式使用实二次因子 $(x^2 + u_\nu x + v_\nu)$ 以及由有理函数分量的差商导出的实系数来表示分解式。

主要贡献与结果

1. 显式 Hermite 公式： 本文提出了在 Chung–Yao 设定下的一种新的、显式的多元 Hermite 插值公式。不同于可能需要求解线性方程组的传统方法，该公式是直接的，并依赖于商 $f/\phi_i$ 的 Taylor 展开。
2. 直接的部分分式分解： 作者推导出了具有重根的有理函数部分分式分解系数的显式公式。
   • 对于互异根，该公式恢复了涉及 $q'(x_i)$ 的标准结果。
   • 对于重根，系数通过导数（针对实根）或差商（针对复共轭对）显式给出，避免了求解线性方程组的需求。
3. 实数情况的处理： 一个具体的贡献是对具有复共轭根的实有理函数进行的显式处理。论文提供了涉及不可约二次因子的项系数的公式，确保分解保持在实数域内。

意义与主张
本文声称为经典的关于部分分式分解（包括实数情况）的问题提供了一个直接且显式的解。通过利用新推导的多元 Lagrange–Taylor 公式的单变量类似物，作者证明了分解系数可以直接从函数及其在根处的导数（或差商）中计算得出，而不是通过间接的代数变形或线性代数方法。

该工作将 Chung–Yao 插值的几何方法与有理函数分解的代数问题统一起来，提供了一个理论框架，能够产生用于插值数据和分解系数的可计算闭式表达式。作者指出，这种方法简化了确定部分分式展开中常数的过程，特别是在涉及重根的情况下。